Введение

Интегралы, не выразимые в конечном виде из элементарных функций

В математике неэлементарная первообразная данной элементарной функции — это первообразная (или неопределённый интеграл), которая сама по себе не является элементарной функцией (то есть функцией, построенной из конечного числа частных постоянных, алгебраических, экспоненциальных, тригонометрических и логарифмических функций с помощью операций поля). Теорема Лиувиля 1835 года предоставила первое доказательство существования неэлементарных первообразных. Эта теорема также является основой для алгоритма Риша, позволяющего определить (с определёнными трудностями), какие элементарные функции имеют элементарные первообразные.

Свойства

Неэлементарные антипроизводные часто можно вычислить с помощью ряда Тейлора. Даже если у функции нет элементарной антипроизводной, её ряд Тейлора всегда можно почленно интегрировать как полином, получая антипроизводную в виде ряда Тейлора с тем же радиусом сходимости. Однако, даже если подынтегральная функция имеет сходящийся ряд Тейлора, последовательность его коэффициентов часто не имеет элементарной формулы и должна вычисляться почленно, с тем же ограничением для интегрального ряда Тейлора. Даже если неопределённый интеграл (антипроизводную) невозможно выразить в элементарных функциях, соответствующий определённый интеграл всегда можно приближённо вычислить численным интегрированием. Существуют также случаи, когда элементарной антипроизводной не существует, но конкретные определённые интегралы (часто несобственные интегралы по неограниченным интервалам) можно вычислить в элементарных функциях: наиболее известным примером является интеграл Гаусса. Замыкание относительно интегрирования множества элементарных функций – это множество функций Лиувилля.