Кіріспе

Элементарлық функциялардан жабық түрде өрнектеуге келмейтін интегралдар. Математикада, берілген элементарлық функцияның элементар емес туындысы – бұл туынды (немесе белгісіз интеграл), ол өзі элементарлық функция болып табылмайды (яғни, тұрақты, алгебралық, экспоненциалдық, тригонометриялық және логарифмикалық функциялардың шекті санынан құралған және өріс операциялары қолданылған функция). Лиувилльдің 1835 жылғы теоремасы элементар емес туындылардың бар екендігіне алғашқы дәлел келтірді. Бұл теорема сондай-ақ Риш алгоритмінің негізі болып табылады, ол (қиындықпен) қандай элементарлық функциялардың элементарлық туындылары бар екенін анықтауға мүмкіндік береді.

Қасиеттері

Элементар емес антидеривативтерді көбінесе Тейлор қатарларын қолдану арқылы есептеуге болады. Функцияның элементар антидериваты болмаса да, оның Тейлор қатарын әр мүшесі бойынша полином сияқты интегралдауға болады, нәтижесінде антидериватив функциясы сол радиуспен Тейлор қатары түрінде шығады. Дегенмен, интегралдамада конвергентті Тейлор қатары болған жағдайда да, оның коэффициенттер тізбегінің элементар формуласы көбінесе болмайды және оны мүшесі бойынша есептеу қажет, интегралды Тейлор қатары үшін де сондай шектеу сақталады. Егер анықталмаған интегралды (антидеривативті) элементар түрінде есептеу мүмкін болмаса, сәйкес белгілі интегралды сандық интеграл арқылы шамалауға болады. Сондай-ақ, элементар антидеривативі жоқ, бірақ нақты белгілі интегралдар (көбінесе шексіз интервалдағы бұрыс интегралдар) элементар түрінде есептелуі мүмкін жағдайлар бар: ең белгілісі – Гаусс интегралы. Элементар функциялар жиынының интеграл бойынша жабылуы – Лиувилл функцияларының жиыны.