Введение

Одна из нескольких теорем в различных областях математики. В дискретной математике теорема Шура — это любая из нескольких теорем математика Иссая Шура. В дифференциальной геометрии теорема Шура — теорема Акселя Шура. В функциональном анализе теорему Шура часто называют свойством Шура, и она также принадлежит Иссаю Шуру.

Комбинаторная теория

В комбинаторике теорема Шура определяет количество способов представления заданного числа в виде (неотрицательной, целочисленной) линейной комбинации фиксированного множества взаимно простых чисел. В частности, если задано множество целых чисел, то число различных кратных неотрицательных целых чисел, стремящихся к бесконечности, равно:

Следовательно, для любого множества взаимно простых чисел существует такое значение, что каждое число, большее этого значения, может быть представлено в виде линейной комбинации по крайней мере одним способом. Это следствие теоремы можно рассмотреть в более понятном контексте, обратившись к задаче о размене суммы с использованием набора монет. Если номиналы монет являются взаимно простыми числами (например, 2 и 5), то любую достаточно большую сумму можно разменять, используя только эти монеты. (См. Задача о размене монет.)

Дифференциальная геометрия

В дифференциальной геометрии теорема Шура сравнивает расстояние между конечными точками пространственной кривой с расстоянием между конечными точками соответствующей плоской кривой с меньшей кривизной. Пусть γ – плоская кривая с кривизной, которая образует выпуклую кривую при замыкании хордой, соединяющей её конечные точки, и δ – кривая той же длины с кривизной. Обозначим расстояние между конечными точками γ как L(γ), а расстояние между конечными точками δ как L(δ). Если L(γ) ≤ L(δ), то…

Теорема Шура обычно формулируется для кривых, но Джон М. Салливан отметил, что она применима и к кривым с конечной полной кривизной (формулировка в этом случае немного отличается).

Линейная алгебра

В линейной алгебре теорема Шура относится либо к триангуляризации квадратной матрицы с комплексными элементами, либо к триангуляризации квадратной матрицы с вещественными элементами и вещественными собственными значениями.

Функциональный анализ

В функциональном анализе и при изучении пространств Банаха теорема Шура, установленная И. Шуром, часто относится к свойству Шура, заключающемуся в том, что для некоторых пространств слабая сходимость влечёт сходимость в норме.

Теория чисел

В теории чисел Иссай Шур доказал в 1912 году, что для любого непостоянного многочлена p(x) с целыми коэффициентами, если S — множество всех ненулевых значений, то множество простых чисел, делящих хотя бы одно значение из S, бесконечно.