Введение

Обобщение компактности
В топологии и смежных областях математики, полная ограниченность является обобщением компактности в случаях, когда множество не обязательно замкнуто. Полностью ограниченное множество можно покрыть конечным числом подмножеств любого фиксированного "размера" (где значение "размера" зависит от структуры окружающего пространства). Термин "предкомпактный" иногда используется в том же смысле, но также может означать относительно компактный. Эти определения совпадают для подмножеств полного метрического пространства, но не всегда в общем случае.

В метрических пространствах

Метрическое пространство называется полно́стью ограниченным, если и только если для каждого действительного числа ε > 0 существует конечный набор открытых шаров радиуса ε, центры которых лежат в M, и объединение которых содержит M. Эквивалентно, метрическое пространство M полно́стью ограничено, если и только если для каждого ε > 0 существует конечное покрытие, такое что радиус каждого элемента покрытия не превышает ε. Это эквивалентно существованию конечной ε-сети. Метрическое пространство называется полно́стью ограниченным, если любая последовательность содержит подпоследовательность Коши; в полных метрических пространствах множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и полно́стью ограничено. Любое полно́стью ограниченное пространство ограничено (поскольку объединение конечного числа ограниченных множеств ограничено). Обратное верно для подмножеств евклидова пространства (с индуцированной топологией), но не в общем случае. Например, бесконечное множество, снабжённое дискретной метрикой, ограничено, но не полно́стью ограничено: каждый дискретный шар радиуса ε или меньше является одноэлементным множеством, и никакое конечное объединение одноэлементных множеств не может покрыть бесконечное множество.

Однородные (топологические) пространства

В определении полной ограниченности метрика используется лишь для того, чтобы гарантировать сопоставимость размеров каждого элемента конечного покрытия, и может быть ослаблена до уровня однородной структуры. Подмножество S равномерного пространства X полно ограничено тогда и только тогда, когда для любого антуража E существует конечное покрытие S подмножествами X, каждый из картезианских квадратов которых является подмножеством E. (Иными словами, E заменяет "размер" ε, и подмножество имеет размер E, если его картезианский квадрат является подмножеством E.) Это определение можно еще больше обобщить на любую категорию пространств, обладающих понятием компактности и завершения по Коши: пространство полно ограничено тогда и только тогда, когда его (Коши) завершение компактно.

Примеры и элементарные свойства

Каждое компактное множество полно ограничено, когда это понятие определено. Каждое полно ограниченное множество ограничено. Подмножество действительной прямой, или, в более общем случае, конечномерного евклидова пространства, полно ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено. Единичный шар в гильбертовом пространстве, или, в более общем случае, в банаховом пространстве, полно ограничен (в топологии нормы) тогда и только тогда, когда пространство имеет конечную размерность. Равнонепрерывные ограниченные функции на компактном множестве предкомпактны в равномерной топологии; это теорема Арцела-Асколи. Метрическое пространство является сепарабельным тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно полно ограниченному метрическому пространству. Замыкание полно ограниченного подмножества снова полно ограничено.

Взаимодействие с выпуклостью

Сбалансированная оболочка полностью ограниченного подмножества топологического векторного пространства снова является полностью ограниченной. Сумма Минковского двух компактных (полностью ограниченных) множеств является компактной (соответственно, полностью ограниченной). В локально выпуклом (хаусдорфовом) пространстве выпуклая оболочка и дисковая оболочка полностью ограниченного множества являются полностью ограниченными тогда и только тогда, когда пространство является полным.