Введение
Объект исследования в категории однородных топологических пространств. В математической области топологии однородное свойство, или однородный инвариант, — это свойство однородного пространства, инвариантное относительно однородных изоморфизмов. Поскольку однородные пространства являются топологическими пространствами, а однородные изоморфизмы — гомеоморфизмами, любое топологическое свойство однородного пространства также является однородным свойством. Данная статья (в основном) посвящена однородным свойствам, которые не являются топологическими свойствами.
Однородные свойства
Разделимость. Однородное пространство X называется разделимым, если пересечение всех окрестностей равно диагонали в X × X. Это, по сути, топологическое свойство, эквивалентное тому, что лежащее в основе топологическое пространство является хаусдорфовым (или просто T0, поскольку каждое однородное пространство является вполне регулярным). Полнота. Однородное пространство X называется полным, если каждая сеть Коши в X сходится (то есть имеет предельную точку в X). Полная ограниченность (или прекомпактность). Однородное пространство X называется полно ограниченным, если для каждой окрестности E ⊂ X × X существует конечное покрытие {Ui} пространства X, такое что Ui × Ui содержится в E для всех i. Эквивалентно, X полно ограничено, если для каждой окрестности E существует конечное подмножество {xi} пространства X, такое что X является объединением всех E[xi]. В терминах однородных покрытий, X полно ограничено, если каждое однородное покрытие имеет конечное подпокрытие. Компактность. Однородное пространство называется компактным, если оно полное и полно ограниченное. Несмотря на данное определение, компактность является топологическим свойством и, следовательно, допускает чисто топологическое описание (каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие). Однородная связность. Однородное пространство X называется однородно связным, если каждая равномерно непрерывная функция из X в дискретное однородное пространство является постоянной. Однородная несвязность. Однородное пространство X называется однородно несвязным, если оно не является однородно связным.