Введение
Структура, описывающая понятие "близости" между подмножествами. В топологии пространство близости, также называемое пространством окрестностей, является аксиоматизацией интуитивного понятия "близости", применимого ко множествам по отношению к множествам, в отличие от более известного понятия от точки к множеству, характеризующего топологические пространства. Концепция была описана, но в то время осталась незамеченной. Она была вновь открыта и аксиоматизирована В. А. Ефремовичем в 1934 году под названием бесконечно малого пространства, но опубликована лишь в 1951 году. В промежутке времени другой исследователь независимо открыл версию той же концепции под названием пространство разделения.
In topology, a proximity space, also called a nearness space, is an axiomatization of the intuitive notion of "nearness" that hold set to set, as opposed to the better known point to set notion that characterize topological spaces. The concept was described by but ignored at the time. It was rediscovered and axiomatized by V. A. Efremovič in 1934 under the name of infinitesimal space, but not published until 1951. In the interim, discovered a version of the same concept under the name of separation space.
Свойства
При заданном пространстве близости можно определить топологию, приняв оператор Куратовского-замыкания. Если пространство близости является разделенным, то результирующая топология будет хаусдорфовой. Отображения близости будут непрерывными между индуцированными топологиями. Результирующая топология всегда полностью регулярна. Это можно доказать, имитируя стандартные доказательства леммы Урысона, используя последнее свойство проксимальных окрестностей для построения бесконечно возрастающей цепи, используемой в доказательстве леммы. Для заданного компактного хаусдорфова пространства существует единственная близость, соответствующая топология которой совпадает с заданной: близко к тогда и только тогда, когда их замыкания имеют непустое пересечение. В более общем случае, близости классифицируют компактификации полностью регулярного хаусдорфова пространства. Однородное пространство порождает отношение близости, определяя, что близко к тогда и только тогда, когда имеет непустое пересечение с каждым окрестностью. Однородно непрерывные отображения будут тогда проксимально непрерывными.