Введение

Разделение плоскости на полигоны, все из которых являются правильными. + Пример периодических покрытий. Правильное покрытие состоит из одного типа правильных многоугольников. Полуправильное или однородное покрытие имеет один тип вершин, но два или более типа многоугольников. k-однородное покрытие имеет k типов вершин и два или более типа правильных многоугольников. Нестыковое покрытие может состоять из правильных многоугольников разных размеров. Евклидовы плоские покрытия выпуклыми правильными многоугольниками широко использовались с древних времен. Первым систематическим математическим исследованием была работа Кеплера "Harmonices Mundi" (лат. "Гармония мира", 1619 г.).

Обозначение евклидовых плиток

Евклидовы покрытия обычно именуются по нотации Канди и Роллета. Эта нотация представляет собой (i) количество вершин, (ii) количество многоугольников вокруг каждой вершины (расположенных по часовой стрелке) и (iii) количество сторон каждого из этих многоугольников. Например, 36; 36; 34.6 указывает на то, что есть 3 вершины с 2 различными типами вершин, поэтому такое покрытие классифицируется как «3-однородное (2 типа вершин)». В разбитом виде, 36; 36 (оба принадлежат разным классам симметрии), или (36)², указывает на то, что есть 2 вершины (обозначаемые индексом ²), каждая из которых окружена 6 равносторонними 3-сторонними многоугольниками (треугольниками). С добавлением последней вершины 34.6 – еще 4 смежных равносторонних треугольника и один правильный шестиугольник. Однако эта нотация имеет две основные проблемы, связанные с неоднозначностью формы и уникальностью. Во-первых, для k-однородных покрытий нотация не объясняет взаимосвязи между вершинами. Это делает невозможным построение покрытой плоскости, имея только эту нотацию. Во-вторых, некоторые покрытия имеют одинаковую номенклатуру, они очень похожи, но можно заметить, что относительное расположение шестиугольников различается. Следовательно, вторая проблема заключается в том, что эта номенклатура не является уникальной для каждого покрытия. Для решения этих проблем нотация GomJau Hogg представляет собой слегка модифицированную версию исследования и нотации, представленной в 2012 году. Бесплатное онлайн-приложение, основанное на ней, позволяет бесконечно генерировать регулярные многоугольные покрытия посредством набора этапов размещения фигур и итеративных операций вращения и отражения, полученных непосредственно из нотации GomJau Hogg.

Плоско-вертикальные плитки

Существует 17 комбинаций правильных выпуклых многоугольников, образующих 21 тип плоских вершинных покрытий. Многоугольники в этих комбинациях сходятся в одной точке, не оставляя зазоров и не перекрываясь. Если перечислить их по вершинным фигурам, то один имеет 6 многоугольников, три – по 5, семь – по 4, а десять – по 3. Как подробно описано в предыдущих разделах, три из них могут образовывать правильные покрытия (63, 44, 36), а еще восемь – полуправильные или архимедовы покрытия (3.12.12, 4.6.12, 4.8.8, (3.6)2, 3.4.6.4, 3.3.4.3.4, 3.3.3.4.4, 3.3.3.3.6). Четыре из них могут быть использованы в более высоких k-равномерных покрытиях (3.3.4.12, 3.4.3.12, 3.3.6.6, 3.4.4.6), в то время как шесть не могут полностью покрыть плоскость правильными многоугольниками без зазоров и перекрытий – они полностью заполняют пространство только при включении неправильных многоугольников (3.7.42, 3.8.24, 3.9.18, 3.10.15, 4.5.20, 5.5.10). + Плоские вершинные покрытия 63653.3.4.3.43.3.4.3.43.3.3.4.43.3.3.3.643.3.4.123.4.3.123.3.6.6(3.6)23.4.4.63.4.6.44433.7.423.8.243.9.183.10.153.12.124.5.204.6.124.8.85.5.1063

2-однородные плитки

Существует двадцать (20) 2 равномерных мощений евклидовой плоскости (также называемых 2-изогональными или полуправильными мощениями). Для каждого из них указаны типы вершин. Если два мощения имеют одинаковые типы вершин, им присваиваются индексы 1 и 2. + 2 равномерных мощения (20)p6m, *632 p4m, *442 [36; 32.4.3.4]3 4 3/m30/r(c3) (t = 3, e = 3) [3.4.6.4; 32.4.3.4] 6 4 3,3/m30/r(h1)(t = 4, e = 4) [3.4.6.4; 33.42]6 4 3 3/m30/r(h5) (t = 4, e = 4) [3.4.6.4; 3.42.6]6 4 3,4 6/m30/r(c4) (t = 5, e = 5) [4.6.12; 3.4.6.4]12 4,6 3/m30/r(c3) (t = 4, e = 4) [36; 32.4.12]12 3,4 3/m30/r(c3) (t = 4, e = 4) [3.12.12; 3.4.3.12]12 0,3,3 0,4/m45/m(h1) (t = 3, e = 3) p6m, *632p6, 632p6, 632cmm, 2*22pmm, *2222cmm, 2*22pmm, *2222 [36; 32.62]3 6/m30/r(c2) (t = 2, e = 3) [36; 34.6]16 3,3 3/m30/r(h1) (t = 3, e = 3) [36; 34.6]26 3 3,3 3/r60/r(h8) (t = 5, e = 7) [32.62; 34.6]6 3/m90/r(h1) (t = 2, e = 4) [3.6.3.6; 32.62]6 3,6/m90/r(h3) (t = 2, e = 3) [3.42.6; 3.6.3.6]26 3,4 6 3,4 6,4/m90/r(c6) (t = 3, e = 4) [3.42.6; 3.6.3.6]16 3,4/m90/r(h4) (t = 4, e = 4)p4g, 4*2pgg, 22×cmm, 2*22cmm, 2*22pmm, *2222cmm, 2*22 [33.42; 32.4.3.4]14 3,3 4,3/r90/m(h3) (t = 4, e = 5) [33.42; 32.4.3.4]24 3,3,3 4,3/r(c2)/r(h13)/r(h45)(t = 3, e = 6) [44; 33.42]14 3/m(h4)/m(h3)/r(h2)(t = 2, e = 4) [44; 33.42]24 4 3 3/m90/r(h3)(t = 3, e = 5) [36; 33.42]14 3,4 3,3/m90/r(h3)(t = 3, e = 4) [36; 33.42]24 3 3 3/m90/r(h7)/r(h5)(t = 4, e = 5)

Высшие однородные к-покрытия

k однородных покрытий пересчитаны до 6. Существует 673 6 однородных покрытий евклидовой плоскости. Поиск, проведенный Брайаном Галебахом, воспроизвел список Кротенхердта, содержащий 10 6 однородных покрытий с 6 различными типами вершин, а также обнаружил 92 покрытия с 5 типами вершин, 187 покрытий с 4 типами вершин, 284 покрытия с 3 типами вершин и 100 покрытий с 2 типами вершин.

Плитки, не имеющие общих краев

Выпуклые правильные многоугольники также могут образовывать плоские покрытия, не являющиеся соединениями по краям. Такие покрытия можно рассматривать как соединения по краям, используя нерегулярные многоугольники с прилегающими коллинеарными краями. Существует семь семейств изогональных покрытий, каждое из которых имеет вещественный параметр, определяющий перекрытие между сторонами смежных плиток или отношение между длинами сторон различных плиток. Две из семейств генерируются из сдвинутого квадрата, в прогрессивном или зигзагообразном расположении. Грюнбаум и Шепард называют эти покрытия однородными, хотя это противоречит определению однородности Коксетера, которое требует соединения по краям правильных многоугольников. Такие изогональные покрытия фактически топологически идентичны однородным покрытиям, но имеют различные геометрические пропорции. + Периодические изогональные покрытия не соединяющимися по краям выпуклыми правильными многоугольниками1234567Ряды квадратов с горизонтальным смещениемРяды треугольников с горизонтальным смещениемПокрытие квадратамиТри шестиугольника окружают каждый треугольникШесть треугольников окружают каждый шестиугольник. Треугольники трех размеровcmm (2*22)p2 (2222)cmm (2*22)p4m (*442)p6 (632)p3 (333)Гексагональное покрытиеКвадратное покрытиеУсеченное квадратное покрытиеУсеченное гексагональное покрытиеГексагональное покрытиеТригексагональное покрытие