Введение

В теории порядка частично упорядоченное множество X называется удовлетворяющим счетному условию цепей, или ccc, если любая сильная антицепь в X счетна.

Обзор

Есть два условия: условия восходящей и нисходящей счётной цепи. Они не эквивалентны. Условие счётной цепи подразумевает условие счётной цепи вниз, то есть ни у каких двух элементов нет общей нижней границы. Это называется "условием счётной цепи", а не более логичным термином "условием счётной антицепи" по историческим причинам, связанным с определёнными цепями открытых множеств в топологических пространствах и цепями в полных булевых алгебрах, где условия цепи иногда оказываются эквивалентными условиям антицепи. Например, если κ – кардинал, то в полной булевой алгебре каждая антицепочка имеет мощность меньше κ тогда и только тогда, когда не существует нисходящей последовательности из κ элементов, таким образом, условия цепи эквивалентны условиям антицепи. Частичные порядки и пространства, удовлетворяющие условию ccc, используются в формулировке аксиомы Мартина. В теории форсирования используются частичные порядки, удовлетворяющие условию ccc, поскольку форсирование с любым генерическим множеством над таким порядком сохраняет кардиналы и кофинальности. Более того, свойство ccc сохраняется при итерациях с конечной поддержкой (см. итерированное форсирование). Дополнительная информация об условии ccc в контексте форсирования приведена в… В более общем случае, если κ – кардинал, то частичный порядок удовлетворяет условию цепи κ, если каждая антицепочка имеет мощность меньше κ. Условие счётной цепи – это условие цепи ℵ₁.

Примеры и свойства в топологии

Топологическое пространство называется удовлетворяющим условию счётной цепи, или условию Суслина, если частично упорядоченное множество непустых открытых подмножеств X удовлетворяет условию счётной цепи, то есть любое попарно непересекающееся семейство непустых открытых подмножеств X счётно. Название происходит от проблемы Суслина. Каждое сепарабельное топологическое пространство является ccc. Более того, пространство произведения не более чем счётного числа сепарабельных пространств является сепарабельным пространством и, следовательно, ccc. Метрическое пространство является ccc тогда и только тогда, когда оно сепарабельно. В общем случае, ccc-топологическое пространство не обязано быть сепарабельным. Например, пространство с топологией произведения является ccc, хотя и не сепарабельным. Паракомпактные ccc-пространства являются Линделёфа.