Введение

Связывает теорию множеств с теорией категорий.
В математике категорификация — это процесс замены теорем теории множеств на аналоги в теории категорий. Успешная категорификация заменяет множества категориями, функции — функторами, а уравнения — естественными изоморфизмами функторов, удовлетворяющими дополнительным свойствам. Термин был введен Луисом Крейном. Обратным процессом к категорификации является декатегорификация. Декатегорификация — это систематический процесс, в ходе которого изоморфные объекты в категории отождествляются как равные. В то время как декатегорификация является достаточно простым процессом, категорификация обычно гораздо сложнее. В теории представлений алгебр Ли основными объектами изучения являются модули над конкретными алгебрами, и существует несколько подходов к тому, каким должно быть категорическое представление такого модуля, например, так называемые (слабые) абелевы категорификации. Категорификация и декатегорификация — это не строгие математические процедуры, а скорее класс возможных аналогий. Они используются в том же смысле, что и слова вроде «обобщение», а не «шеафификация».

Примеры

Одна форма категорификации берет структуру, описанную в терминах множеств, и интерпретирует эти множества как классы изоморфизма объектов в категории. Например, множество натуральных чисел можно рассматривать как множество кардинальностей конечных множеств (и любые два множества с одинаковой кардинальностью изоморфны). В этом случае операции над множеством натуральных чисел, такие как сложение и умножение, можно рассматривать как несущие информацию о сопроизведениях и произведениях в категории конечных множеств. Если говорить менее абстрактно, то идея заключается в том, что манипулирование наборами реальных объектов и взятие сопроизведений (объединение двух множеств) или произведений (построение массивов для отслеживания большого количества объектов) происходило изначально. Позже конкретная структура множеств была абстрагирована – рассмотрена «с точностью до изоморфизма», чтобы получить абстрактную теорию арифметики. Это «декатегорификация», а категорификация обращает этот шаг. Другие примеры включают теории гомологии в топологии. Эмми Нётер дала современную формулировку гомологии как ранга определенных свободных абелевых групп, категорифицировав понятие числа Бетти. См. также гомологию Хованова как инвариант узла в теории узлов. Примером в теории конечных групп является то, что кольцо симметричных функций категорифицируется категорией представлений симметрической группы. Карта декатегорификации отображает модуль Спехта, индексированный разбиением, в функцию Шура, индексированную тем же разбиением, по сути следуя карте характеров из любимого базиса ассоциированной группы Гротендика в любимый базис теории представлений кольца симметричных функций. Эта карта отражает сходство структур; например, они имеют одинаковые коэффициенты разложения по своим соответствующим базисам, оба заданные коэффициентами Литтлвуда — Ричардсона.