Введение

В математике теория нечетких мер рассматривает обобщенные меры, в которых аддитивное свойство заменяется более слабым свойством монотонности. Центральным понятием теории нечетких мер является нечеткая мера (также емкость, см.), которая была введена Шоке в 1953 году и независимо определена Сугено в 1974 году в контексте нечетких интегралов. Существует ряд различных классов нечетких мер, включая меры правдоподобия/убеждения, меры возможности/необходимости и меры вероятности, которые являются подмножеством классических мер.

Определения

Пусть U – вселенная дискурса, ℱ – класс подмножеств U, и m – функция, где

называется нечёткой мерой. Нечёткая мера называется нормализованной или регулярной, если m(U) = 1.

Упрощающие допущения для нечетких показателей

Нечеткие меры определяются на полукольце множеств или монотонном классе, которые могут быть столь же гранулярными, как булеан (множество всех подмножеств) X, и даже в дискретных случаях число переменных может достигать 2|X|. По этой причине, в контексте многокритериального анализа решений и других дисциплин, были введены упрощающие предположения относительно нечеткой меры, чтобы снизить вычислительные затраты на ее определение и использование. Например, если предполагается, что нечеткая мера аддитивна, то выполняется условие и значения нечеткой меры могут быть вычислены на основе значений на X. Аналогично, симметричная нечеткая мера определяется однозначно |X| значениями. Две важные нечеткие меры, которые могут быть использованы, – это нечеткая мера Сугено или и k аддитивных мер, введенные соответственно Сугено и Грабишем.

Сугено λ-мерка

Мерка Сугено является частным случаем нечетких мер, определяемых итеративно. Она имеет следующее определение:

k-аддитивная размытая мера

Аддитивная нечеткая мера ограничивает взаимодействие между подмножествами размером k. Это резко сокращает количество переменных, необходимых для определения нечеткой меры, и поскольку k может принимать любое значение от 1 (в этом случае нечеткая мера является аддитивной) до X, это позволяет найти компромисс между способностью к моделированию и простотой.

Определение

Дискретное нечеткое (расплывчатое) измерение g на множестве X называется k-аддитивным, если его представление Мёбиуса удовлетворяет условию , для любого , и существует подмножество F, содержащее k элементов, такое что .