Введение
Распределение вероятности случайной величины, принимающей только одно значение. В математике, дегенеративное распределение, по мнению одних, является распределением вероятности в пространстве, область определения которого ограничена многообразием меньшей размерности, а по мнению других – это распределение удовлетворяет определению "случайной величины", хотя и не выглядит случайным в обычном понимании этого слова; поэтому оно считается вырожденным. В случае вещественной случайной величины, вырожденное распределение представляет собой распределение, сосредоточенное в одной точке k0 на вещественной прямой. Функция вероятности массы равна 1 в этой точке и 0 во всех остальных. Вырожденное одномерное распределение можно рассматривать как предельный случай непрерывного распределения, дисперсия которого стремится к 0, что приводит к тому, что функция плотности вероятности становится дельта-функцией в точке k0, с бесконечной высотой в этой точке, но площадью, равной 1. Функция распределения одномерного вырожденного распределения:
In mathematics, a degenerate distribution is, according to some, a probability distribution in a space with support only on a manifold of lower dimension, and according to others This distribution satisfies the definition of "random variable" even though it does not appear random in the everyday sense of the word; hence it is considered degenerate. In the case of a real valued random variable, the degenerate distribution is a one point distribution, localized at a point k0 on the real line. The probability mass function equals 1 at this point and 0 elsewhere. The degenerate univariate distribution can be viewed as the limiting case of a continuous distribution whose variance goes to 0 causing the probability density function to be a delta function at k0, with infinite height there but area equal to 1. The cumulative distribution function of the univariate degenerate distribution is:
Более высокие размеры
Дегенерация многомерного распределения в n случайных переменных возникает, когда носитель лежит в пространстве размерности меньше n. Это происходит, когда хотя бы одна из переменных является детерминированной функцией остальных. Например, в случае двух переменных, предположим, что Y = aX + b для скалярных случайных переменных X и Y и скалярных констант a ≠ 0 и b; в этом случае знание значения одной из X или Y даёт точное знание значения другой. Все возможные точки (x, y) лежат на одномерной прямой y = ax + b. В общем случае, когда одна или несколько из n случайных переменных точно линейно определяются остальными, если ковариационная матрица существует, её ранг меньше n, а её определитель равен 0, следовательно, она положительно полуопределённая, но не положительно определённая, и совместное распределение вероятностей является вырожденным. Дегенерация может возникать даже при ненулевой ковариации. Например, если скалярная случайная величина X симметрично распределена относительно 0, а Y точно определяется как Y = X², то все возможные точки (x, y) лежат на параболе y = x², которая является одномерным подмножеством двумерного пространства.