Введение

Векторы, чьи линейные комбинации отличны от нуля. Линейная зависимость случайных величин.

В теории векторных пространств, множество векторов называется линейно независимым, если не существует нетривиальной линейной комбинации векторов, равной нулевому вектору. Если такая линейная комбинация существует, то векторы называются линейно зависимыми. Эти понятия являются основополагающими для определения размерности. Векторное пространство может быть конечномерным или бесконечномерным в зависимости от максимального числа линейно независимых векторов. Определение линейной зависимости и возможность установления линейной зависимости подмножества векторов в векторном пространстве имеют ключевое значение для определения размерности векторного пространства.

Бесконечный случай

Бесконечное множество векторов линейно независимо, если каждое непустое конечное подмножество линейно независимо. Обратно, бесконечное множество векторов линейно зависимо, если оно содержит конечное подмножество, которое линейно зависимо, или, что эквивалентно, если какой-либо вектор в множестве является линейной комбинацией других векторов в этом множестве. Индексированная семья векторов линейно независима, если она не содержит один и тот же вектор дважды и если множество её векторов линейно независимо. В противном случае семья считается линейно зависимой. Множество векторов, которое линейно независимо и порождает некоторое векторное пространство, образует базис этого векторного пространства. Например, векторное пространство всех многочленов от x над действительными числами имеет (бесконечное) подмножество {1, x, x², …} в качестве базиса.

Географическое расположение

Описывая местоположение какого-либо места, человек может сказать: "Это 3 мили к северу и 4 мили к востоку отсюда". Это достаточная информация для описания местоположения, поскольку географическую систему координат можно рассматривать как двумерное векторное пространство (игнорируя высоту и кривизну поверхности Земли). Человек может добавить: "Это место находится в 5 милях к северо-востоку отсюда". Это последнее утверждение верно, но не необходимо для определения местоположения. В этом примере вектор "3 мили на север" и вектор "4 мили на восток" линейно независимы. То есть, северный вектор нельзя описать через восточный вектор, и наоборот. Третий вектор "5 миль северо-востока" является линейной комбинацией двух других векторов, и он делает набор векторов линейно зависимым, то есть один из трех векторов избыточен для определения конкретного местоположения на плоскости. Также обратите внимание, что если высоту не игнорировать, становится необходимым добавить третий вектор к линейно независимому набору. В общем случае, для описания всех местоположений в n-мерном пространстве требуется n линейно независимых векторов.

Больше векторов, чем размеров

Если число векторов превышает размерность пространства, то векторы линейно зависимы. Это проиллюстрировано на примере выше, где рассматриваются три вектора в…

Линейная независимость функций

Пусть $\mathbb{R}$ будет векторным пространством всех дифференцируемых функций вещественной переменной. Тогда функции $e^x$ и $e^{-x}$ в $\mathbb{R}$ линейно независимы.

Пространство линейных зависимостей

Линейная зависимость или линейная связь между векторами 'v'1, …, 'v'n — это кортеж (a1, …, an) с n скалярными компонентами, такой что

Если такая линейная зависимость существует хотя бы с одной ненулевой компонентой, то n векторов линейно зависимы. Линейные зависимости между 'v'1, …, 'v'n образуют векторное пространство. Если векторы заданы своими координатами, то линейные зависимости являются решениями однородной системы линейных уравнений, где координаты векторов выступают в качестве коэффициентов. Таким образом, базис векторного пространства линейных зависимостей можно вычислить методом Гаусса.

Сродственная независимость

Сбор векторов называется аффинно зависимым, если хотя бы один вектор в этом наборе можно представить в виде аффинной комбинации остальных векторов. В противном случае, набор называется аффинно независимым. Любая аффинная комбинация является линейной комбинацией, следовательно, любой аффинно зависимый набор является линейно зависимым. Обратно, любой линейно независимый набор является аффинно независимым. Рассмотрим набор векторов размера *n* каждый, и рассмотрим набор расширенных векторов размера *n+1* каждый. Исходные векторы аффинно независимы тогда и только тогда, когда расширенные векторы линейно независимы.