Введение

Теорема классификации в теории групп
В математике теорема Фейта — Томпсона, или теорема о группах нечетного порядка, утверждает, что любая конечная группа нечетного порядка разрешима. Она была доказана .

История

Предполагалось, что каждая неабелева конечная простая группа имеет четный порядок. Было предложено использовать централизаторы инволюций простых групп в качестве основы для классификации конечных простых групп, поскольку теорема Брауэра — Фаулера показывает, что существует лишь конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции. Группа нечетного порядка не имеет инволюций, поэтому для реализации программы Брауэра сначала необходимо доказать, что нециклические конечные простые группы никогда не имеют нечетного порядка. Это эквивалентно доказательству того, что группы нечетного порядка разрешимы, что и сделали Фейт и Томпсон. Атаку на гипотезу Бернсайда начал , который изучал группы CA; это группы, для которых централизатор каждого нетривиального элемента абелев. В своей основополагающей работе он показал, что все группы CA нечетного порядка разрешимы. (Позже он классифицировал все простые группы CA, и в более общем случае все простые группы, такие, что централизатор любой инволюции имеет нормальную 2-силовскую подгруппу, обнаружив в процессе упущенное семейство простых групп типа Ли, которые теперь называются группами Судзуки.) Расширил работу Судзуки на семейство групп CN; это группы, для которых централизатор каждого нетривиального элемента нильпотентен. Они показали, что любая группа CN нечетного порядка разрешима. Их доказательство аналогично доказательству Судзуки. Оно занимало около 17 страниц, что в то время считалось очень большим объемом для доказательства в теории групп. Теорему Фейта — Томпсона можно рассматривать как следующий шаг в этом процессе: они показали, что не существует нециклической простой группы нечетного порядка, для которой каждая собственная подгруппа разрешима. Это доказывает, что каждая конечная группа нечетного порядка разрешима, поскольку минимальный контрпример должен быть простой группой, для которой каждая собственная подгруппа разрешима. Хотя доказательство следует тому же общему плану, что и теорема CA и теорема CN, детали значительно сложнее. Окончательная статья состоит из 255 страниц.

Значение доказательства

Теорема Фейта — Томпсона показала, что классификация конечных простых групп с использованием централизаторов инволюций может быть осуществима, поскольку каждая неабелева простая группа имеет инволюцию. Многие из техник, которые они представили в своем доказательстве, особенно идея локального анализа, были впоследствии развиты и стали инструментами, используемыми в классификации. Пожалуй, самым революционным аспектом доказательства была его протяженность: до работы Фейта — Томпсона немногие аргументы в теории групп превышали несколько страниц, и большинство из них можно было прочитать за один день. Когда теоретики групп осознали, что такие объемные доказательства могут быть успешными, стали появляться серии статей, насчитывающие несколько сотен страниц. Некоторые из них даже превзошли по объему работу Фейта — Томпсона; статья Майкла Эшбахера и Стивена Д. Смита о квазитонких группах занимала 1221 страницу.

Пересмотр доказательства

Многие математики упростили части оригинального доказательства теоремы Фейта — Томпсона. Однако все эти улучшения в некотором смысле носят локальный характер; общая структура доказательства остаётся прежней, но некоторые детали рассуждений были упрощены. Упрощённое доказательство опубликовано в двух книгах: , которая охватывает всё, кроме теории характеров, и , которая посвящена теории характеров. Это переработанное доказательство по-прежнему очень сложное и длиннее оригинального, но изложено более неторопливо. Полностью формальное доказательство, верифицированное с помощью системы доказательства Coq, было объявлено в сентябре 2012 года Жоржем Гонтье и его коллегами из Microsoft Research и Inria.

Очерк доказательства

Вместо того, чтобы описывать теорему Фейта — Томпсона напрямую, проще описать теорему CA Судзуки, а затем отметить некоторые расширения, необходимые для теоремы CN и теоремы об элементах нечётного порядка. Доказательство можно разбить на три шага. Пусть G — неабелева (минимальная) простая группа нечётного порядка, удовлетворяющая условию CA. Более подробное изложение результатов о группах нечётного порядка можно найти в работах или или .

Шаг 1.Локальный анализ структуры группы G

Это легко в случае CA, потому что отношение "a коммутирует с b" является отношением эквивалентности на неединичных элементах. Таким образом, элементы распадаются на классы эквивалентности, так что каждый класс эквивалентности представляет собой множество неединичных элементов максимальной абелевой подгруппы. Нормализаторы этих максимальных абелевых подгрупп оказываются точно максимальными собственными подгруппами G. Эти нормализаторы являются группами Фробениуса, чья теория характеров достаточно прозрачна и хорошо подходит для манипуляций, связанных с индукцией характеров. Также множество простых делителей |G| разбивается в соответствии с простыми числами, делящими порядки различных классов сопряженности максимальных абелевых подгрупп |G|. Этот образец разбиения простых делителей |G| в соответствии с классами сопряженности определенных подгрупп Холла (подгруппа Холла – это та, чей порядок и индекс взаимно просты) которые соответствуют максимальным подгруппам G (с точностью до сопряженности), повторяется как в доказательстве теоремы Фейта — Холла — Томпсона CN, так и в доказательстве теоремы Фейта — Томпсона о группах нечетного порядка. Каждая максимальная подгруппа M имеет определенную нильпотентную подгруппу Холла Mσ с нормализатором, содержащимся в M, чей порядок делится на определенные простые числа, образующие множество σ(M). Две максимальные подгруппы сопряжены тогда и только тогда, когда множества σ(M) одинаковы, а если они не сопряжены, то множества σ(M) не пересекаются. Каждое простое число, делящее порядок G, входит в некоторое множество σ(M). Таким образом, простые числа, делящие порядок G, разбиваются на классы эквивалентности, соответствующие классам сопряженности максимальных подгрупп. Доказательство в случае CN значительно сложнее, чем в случае CA: основная дополнительная проблема заключается в доказательстве того, что две различные силовские подгруппы пересекаются в единичном элементе. Эта часть доказательства теоремы о группах нечетного порядка занимает более 100 страниц журнала. Ключевым шагом является доказательство теоремы единственности Томпсона, утверждающей, что абелевы подгруппы нормального ранга не менее 3 содержатся в единственной максимальной подгруппе, что означает, что простые числа p, для которых силовские p-подгруппы имеют нормальный ранг не более 2, должны рассматриваться отдельно. Бендер позже упростил доказательство теоремы единственности, используя метод Бендера. В то время как в случае CN полученные максимальные подгруппы M по-прежнему являются группами Фробениуса, максимальные подгруппы, которые встречаются в доказательстве теоремы о группах нечетного порядка, не обязательно имеют такую структуру, и анализ их структуры и взаимодействия приводит к 5 возможным типам максимальных подгрупп, называемых типами I, II, III, IV, V. Подгруппы типа I имеют "тип Фробениуса", являющийся небольшим обобщением группы Фробениуса, и фактически позже в доказательстве показано, что они являются группами Фробениуса. Они имеют структуру MF⋊U, где MF является наибольшей нормальной нильпотентной подгруппой Холла, а U имеет подгруппу U0 с тем же показателем, такую что MF⋊U0 является группой Фробениуса с ядром MF. Типы II, III, IV, V – все группы шага 3 со структурой MF⋊U⋊W1, где MF⋊U является производной подгруппой M. Разделение на типы II, III, IV и V зависит от структуры и вложения подгруппы U следующим образом:
Тип II: U нетривиальная абелева, и ее нормализатор не содержится в M.
Тип III: U нетривиальная абелева, и ее нормализатор содержится в M.
Тип IV: U неабелева. Тип V: U тривиальна. Все, кроме двух классов максимальных подгрупп, относятся к типу I, но могут быть также два дополнительных класса максимальных подгрупп, один типа II и один типа II, III, IV или V.

Шаг 2. Теория характера G

Если X является неприводимым характером нормализатора H максимальной абелевой подгруппы A группы CA G, не содержащим A в своем ядре, мы можем индуцировать X в характер Y группы G, который не обязательно является неприводимым. Благодаря известной структуре G легко найти значения характера Y на всех элементах, кроме единичного элемента G. Это означает, что если X1 и X2 – два таких неприводимых характера H, а Y1 и Y2 – соответствующие индуцированные характеры, то Y1 − Y2 полностью определен, и вычисление его нормы показывает, что это разность двух неприводимых характеров G (они иногда называются исключительными характерами G относительно H). Аргумент подсчета показывает, что каждый нетривиальный неприводимый характер G возникает ровно один раз как исключительный характер, связанный с нормализатором некоторой максимальной абелевой подгруппы G. Аналогичный аргумент (но заменяющий абелевы подгруппы Холла на нильпотентные подгруппы Холла) работает в доказательстве теоремы CN. Однако в доказательстве теоремы о нечетном порядке аргументы для построения характеров G из характеров подгрупп гораздо более тонкие и используют изометрию Дейда между кольцами характеров, а не индукцию характеров, поскольку максимальные подгруппы имеют более сложную структуру и встроены менее прозрачным образом. Теория исключительных характеров заменяется теорией когерентного набора характеров для расширения изометрии Дейда. Грубо говоря, эта теория утверждает, что изометрию Дейда можно расширить, если только вовлеченные группы не имеют определенной точной структуры. Описал упрощенную версию теории характеров, разработанную Дейдом, Сибли и Питерфальви.

Использование странности

Тот факт, что порядок группы G нечетный, используется в нескольких местах в доказательстве, а именно: теорема Холла-Хигмана более точна для групп нечетного порядка. Для групп нечетного порядка все непринципиальные характеры встречаются в комплексно сопряженных парах. Ряд результатов о p-группах справедлив только для нечетных простых чисел p. Если группа нечетного порядка не имеет элементарных абелевых подгрупп ранга 3, то ее производная группа является нильпотентной. (Это неверно для симметрической группы S4 четного порядка.) Некоторые аргументы, основанные на теории характеров, не работают для малых простых чисел, особенно для простого числа 2.