Введение
В математике, особенно в теории множеств, если κ является регулярным неисчислимым кардиналом, то фильтр всех множеств, содержащих клубное подмножество κ, является полным фильтром, замкнутым относительно диагонального пересечения, называемым клубным фильтром. Чтобы увидеть, что это фильтр, заметим, что κ является замкнутым и неограниченным (см. клубное множество). Если A ⊆ κ, то любое подмножество κ, содержащее A, также содержится в фильтре, поскольку A содержится в фильтре и, следовательно, все, что содержит A, содержит клубное множество. Это полный фильтр, потому что пересечение менее чем κ клубных множеств является клубным множеством. Чтобы увидеть это, предположим, что {Cα}α<κ является последовательностью клубных множеств, где α < κ. Очевидно, что фильтр замкнут, поскольку любая последовательность, которая появляется в каждом Cα, появляется в каждом Cα и, следовательно, ее предел также содержится в каждом Cα. Чтобы показать, что фильтр неограничен, возьмем γ < κ. Пусть {αi}i∈ℕ будет возрастающей последовательностью с α0 = γ и αi+1 > αi для каждого i. Такую последовательность можно построить, поскольку каждое Cα неограничено. Поскольку κ является регулярным, предел этой последовательности меньше κ. Назовем его δ и определим новую последовательность {βi}i∈ℕ, аналогичную предыдущей последовательности. Мы можем повторить этот процесс, получив последовательность последовательностей {αi(n)}n∈ℕ, где каждый элемент последовательности αi(n) больше, чем каждый член предыдущих последовательностей αi(m) для всех m < n. Тогда для каждого n последовательность {αi(n)}i∈ℕ является возрастающей и содержится в Cαi(n), и все эти последовательности имеют один и тот же предел (предел последовательности {αi(n)}i∈ℕ). Этот предел содержится в каждом Cα и, следовательно, в фильтре, и он больше γ.
Чтобы увидеть, что фильтр замкнут относительно диагонального пересечения, пусть {Cα}α<κ будет последовательностью клубных множеств, и пусть x ∈ ∩α<κ Cα. Чтобы показать, что фильтр замкнут, предположим, что x ∈ Cα для всех α < κ. Тогда для каждого α < κ существует βα < κ такое, что α ∈ Cβα. Поскольку каждое Cβα замкнуто, α ∈ Cβα для всех α < κ, что показывает, что фильтр замкнут. Чтобы показать, что фильтр неограничен, пусть γ < κ и определим последовательность {αi}i∈ℕ следующим образом: α0 = γ и αi+1 – минимальный элемент Cαi такой, что αi+1 > αi. Такой элемент существует, поскольку по вышесказанному, пересечение κ клубных множеств является клубным. Тогда γ ∈ Cα0 и αi ∈ Cαi+1, поскольку он содержится в каждом Cαi с i < κ.