Теорема Биркгоффа о сферически симметричных пространствах-временах
Birkhoff's theorem (relativity)
Сферически симметричные пространства-времена в общей теории относительности: теорема Биркгоффа и теорема Израиля. Описание метрики Шварцшильда и её уникальность.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Заявление о сферически симметричных пространствах-временах
Statement of spherically symmetric spacetimes
В общей теории относительности теорема Бирхоффа утверждает, что любое сферически симметричное решение уравнений гравитационного поля в вакууме должно быть статическим и асимптотически плоским. Это означает, что внешнее решение (то есть пространство-время вне сферического, невращающегося, гравитирующего тела) должно описываться метрикой Шварцшильда. Обратная теорема также верна и называется теоремой Израиля. Обратное утверждение не верно в ньютоновской гравитации. Теорема была доказана в 1923 году Джорджем Дэвидом Биркоффом (автором другой известной теоремы Бирхоффа – точечной эргодической теоремы, которая лежит в основе эргодической теории). В 2005 году Нильс Вое Йохансен, Финн Равендал и Стэнли Дезер заявили, что якобы эта теорема была опубликована двумя годами ранее малоизвестным норвежским физиком Йоргом Тофте Джебсеном.
In general relativity, Birkhoff's theorem states that any spherically symmetric solution of the vacuum field equations must be static and asymptotically flat. This means that the exterior solution (i. e. the spacetime outside of a spherical, nonrotating, gravitating body) must be given by the Schwarzschild metric. The converse of the theorem is true and is called Israel's theorem. The converse is not true in Newtonian gravity. The theorem was proven in 1923 by George David Birkhoff (author of another famous Birkhoff theorem, the pointwise ergodic theorem which lies at the foundation of ergodic theory). In 2005, Nils Voje Johansen, Finn Ravndal, Stanley Deser stated that the theorem was allegedly published two years earlier by a little known Norwegian physicist, Jørg Tofte Jebsen.
Интуитивное обоснование
Интуитивная идея теоремы Бирхоффа состоит в том, что сферически симметричное гравитационное поле должно создаваться каким-то массивным объектом, находящимся в начале координат. Если бы где-то еще была другая концентрация массы-энергии, это нарушило бы сферическую симметрию, поэтому можно ожидать, что решение описывает изолированный объект. То есть, поле должно стремиться к нулю на больших расстояниях, что (частично) и подразумевается под термином "асимптотически плоское" решение. Таким образом, эта часть теоремы соответствует тому, что мы ожидаем, учитывая, что общая теория относительности переходит в ньютоновскую гравитацию в ньютоновском пределе.
The intuitive idea of Birkhoff's theorem is that a spherically symmetric gravitational field should be produced by some massive object at the origin; if there were another concentration of mass–energy somewhere else, this would disturb the spherical symmetry, so we can expect the solution to represent an isolated object. That is, the field should vanish at large distances, which is (partly) what we mean by saying the solution is asymptotically flat. Thus, this part of the theorem is just what we would expect from the fact that general relativity reduces to Newtonian gravitation in the Newtonian limit.
Последствия
Вывод о том, что внешнее поле также должно быть стационарным, более удивителен и имеет интересное следствие. Предположим, у нас есть сферически симметричная звезда с фиксированной массой, испытывающая сферические пульсации. Тогда теорема Бирхоффа утверждает, что внешняя геометрия должна быть шварцшильдовской; единственным эффектом пульсаций является изменение положения поверхности звезды. Это означает, что сферически пульсирующая звезда не может излучать гравитационные волны, для излучения которых необходима, как минимум, квадрупольная структура массы.
The conclusion that the exterior field must also be stationary is more surprising, and has an interesting consequence. Suppose we have a spherically symmetric star of fixed mass which is experiencing spherical pulsations. Then Birkhoff's theorem says that the exterior geometry must be Schwarzschild; the only effect of the pulsation is to change the location of the stellar surface. This means that a spherically pulsating star cannot emit gravitational waves, which requires at least a mass quadrupole structure.
Обобщения
Теорему Бирхоффа можно обобщить: любое сферически симметричное и асимптотически плоское решение уравнений поля Эйнштейна/Максвелла, не содержащее , должно быть статичным, поэтому внешняя геометрия сферически симметричной заряженной звезды описывается электропустотой Рейсснера — Нордстрема. В теории Эйнштейна — Максвелла существуют сферически симметричные, но не асимптотически плоские решения, такие как Вселенная Бертотти — Робинсона.
Birkhoff's theorem can be generalized: any spherically symmetric and asymptotically flat solution of the Einstein/Maxwell field equations, without , must be static, so the exterior geometry of a spherically symmetric charged star must be given by the Reissner–Nordström electrovacuum. In the Einstein Maxwell theory, there exist spherically symmetric but not asymptotically flat solutions, such as the Bertotti Robinson universe.