Графический метод определения устойчивости динамических систем
Nyquist stability criterion
Критерий устойчивости Найквиста: графический метод анализа стабильности динамических систем в теории управления. Применение, ограничения и альтернативы.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Графический метод определения устойчивости динамической системы
Graphical method of determining the stability of a dynamical system
В теории управления и теории устойчивости критерий устойчивости Найквиста, или критерий устойчивости Стрекера — Найквиста, независимо открытый немецким инженером-электриком в компании Siemens в 1930 году. Кроме того, для нелинейных систем могут применяться и другие критерии устойчивости, такие как методы Ляпунова. Хотя метод Найквиста является графическим, он дает лишь ограниченное понимание причин устойчивости или неустойчивости системы, а также способов модификации неустойчивой системы для достижения устойчивости. Методы, такие как диаграммы Боде, хотя и менее универсальны, иногда оказываются более полезным инструментом при проектировании.
In control theory and stability theory, the Nyquist stability criterion or Strecker–Nyquist stability criterion, independently discovered by the German electrical engineer de at Siemens in 1930 Additionally, other stability criteria like Lyapunov methods can also be applied for non linear systems. Although Nyquist is a graphical technique, it only provides a limited amount of intuition for why a system is stable or unstable, or how to modify an unstable system to be stable. Techniques like Bode plots, while less general, are sometimes a more useful design tool.
Сюжет Найквиста
График Найквиста — параметрическое представление частотной характеристики, используемое в автоматическом управлении и обработке сигналов. Наиболее часто графики Найквиста применяются для оценки устойчивости системы с обратной связью. В декартовых координатах реальная часть передаточной функции откладывается по оси X, а мнимая часть — по оси Y. Частота изменяется как параметр, в результате чего для каждой частоты получается одна точка. Тот же график можно описать в полярных координатах, где коэффициент усиления передаточной функции является радиальной координатой, а фаза передаточной функции — соответствующей угловой координатой. График Найквиста назван в честь Гарри Найквиста, бывшего инженера Bell Laboratories. Оценка устойчивости системы с замкнутым контуром отрицательной обратной связи выполняется путем применения критерия устойчивости Найквиста к графику Найквиста разомкнутой системы (то есть той же системы без контура обратной связи). Этот метод легко применим даже к системам с задержками и другим нерациональным передаточным функциям, которые могут быть сложны для анализа другими методами. Устойчивость определяется по количеству обходов точки (−1, 0). Диапазон коэффициентов усиления, при котором система будет устойчива, можно определить, рассматривая пересечения действительной оси. График Найквиста может предоставить некоторую информацию о форме передаточной функции. Например, он позволяет определить разницу между количеством нулей и полюсов передаточной функции.
A Nyquist plot is a parametric plot of a frequency response used in automatic control and signal processing. The most common use of Nyquist plots is for assessing the stability of a system with feedback. In Cartesian coordinates, the real part of the transfer function is plotted on the X axis while the imaginary part is plotted on the Y axis. The frequency is swept as a parameter, resulting in one point per frequency. The same plot can be described using polar coordinates, where gain of the transfer function is the radial coordinate, and the phase of the transfer function is the corresponding angular coordinate. The Nyquist plot is named after Harry Nyquist, a former engineer at Bell Laboratories. Assessment of the stability of a closed loop negative feedback system is done by applying the Nyquist stability criterion to the Nyquist plot of the open loop system (i. e. the same system without its feedback loop). This method is easily applicable even for systems with delays and other non rational transfer functions, which may appear difficult to analyze with other methods. Stability is determined by looking at the number of encirclements of the point (−1, 0). The range of gains over which the system will be stable can be determined by looking at crossings of the real axis. The Nyquist plot can provide some information about the shape of the transfer function. For instance, the plot provides information on the difference between the number of zeros and poles of the transfer function
Резюме
Если функция передачи разомкнутой системы имеет нулевой полюс кратности , то диаграмма Найквиста имеет разрыв в . При дальнейшем анализе следует считать, что фазор совершает обход по часовой стрелке по полукругу бесконечного радиуса. После применения этого правила нулевые полюса следует пренебречь, то есть, если нет других неустойчивых полюсов, то функция передачи разомкнутой системы должна считаться устойчивой. Если функция передачи разомкнутой системы устойчива, то замкнутая система неустойчива, если и только если диаграмма Найквиста обходит точку -1 хотя бы один раз. Если функция передачи разомкнутой системы неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо одно обхождение против часовой стрелки вокруг точки -1 на каждый полюс функции в правой полуплоскости комплексной плоскости. Число избыточных обходов (N + P больше 0) точно равно числу неустойчивых полюсов замкнутой системы. Однако, если график проходит через точку , то определение даже предельной устойчивости системы становится затруднительным, и единственным выводом, который можно сделать из графика, является наличие нулей на мнимой оси.
If the open loop transfer function has a zero pole of multiplicity , then the Nyquist plot has a discontinuity at During further analysis it should be assumed that the phasor travels times clockwise along a semicircle of infinite radius. After applying this rule, the zero poles should be neglected, i. e. if there are no other unstable poles, then the open loop transfer function should be considered stable. If the open loop transfer function is stable, then the closed loop system is unstable, if and only if, the Nyquist plot encircle the point −1 at least once. If the open loop transfer function is unstable, then for the closed loop system to be stable, there must be one counter clockwise encirclement of −1 for each pole of in the right half of the complex plane. The number of surplus encirclements (N + P greater than 0) is exactly the number of unstable poles of the closed loop system. However, if the graph happens to pass through the point , then deciding upon even the marginal stability of the system becomes difficult and the only conclusion that can be drawn from the graph is that there exist zeros on the axis.