Введение

Математическая нотация
В математике скобки Иверсона, названные в честь Кеннета Иверсона, — это нотация, обобщающая дельту Кронекера, которая является скобкой Иверсона для утверждения 1=x=y. Она отображает любое утверждение в функцию свободных переменных этого утверждения. Эта функция определена как принимающая значение 1 для значений переменных, при которых утверждение истинно, и значение 0 в противном случае. Обычно она обозначается заключением утверждения в квадратные скобки:

Другими словами, скобка Иверсона для утверждения является индикаторной функцией множества значений, при которых утверждение истинно. Скобка Иверсона позволяет использовать обозначение сигмы заглавной буквой без ограничений на индекс суммирования. То есть, для любого свойства целого числа , можно переписать ограниченную сумму в неограниченном виде . При такой условности, не требуется определять для значений k, при которых скобка Иверсона равна 0; то есть, слагаемое должно вычисляться как 0, независимо от того, определена ли функция . Изначально эта нотация была введена Кеннетом Иверсоном в его языке программирования APL, однако она ограничивалась одним реляционным оператором в круглых скобках. Обобщение на произвольные утверждения, нотационное ограничение квадратными скобками и применение к суммированию было рекомендовано Дональдом Кнутом для избежания неоднозначности в логических выражениях, заключенных в круглые скобки.

Свойства

Существует прямое соответствие между арифметикой со скобками Айверсона, логикой и операциями над множествами. Например, пусть A и B – множества, а P – любое свойство целых чисел; тогда справедливо следующее:

Примеры

Обозначение позволяет выносить пределы суммирования (или интегрирования) в качестве отдельного множителя перед суммандом, освобождая место вокруг знака суммирования, но что более важно, даёт возможность алгебраически преобразовывать выражение.

Упрощение особых случаев

Еще одно применение скобки Айверсона — упрощение уравнений с особыми случаями. Например, формула

верна при n > 1, но дает ошибку в для n = 1. Чтобы получить тождество, справедливое для всех положительных целых чисел n (то есть для всех значений, при которых определено), можно добавить поправочный член, содержащий скобку Айверсона:

Формулировка с точки зрения обычных функций

В 1830-х годах Гульельмо Далла Соммаха использовал выражение для представления того, что сейчас записывается как ; он также использовал варианты, такие как для . В соответствии с общепринятым соглашением, эти величины равны там, где они определены: 1, если x > 0, 0, если x = 0, и не определены в противном случае.

Вариации в нотации

В дополнение к уже стандартным квадратным скобкам [ · ] и исходным круглым скобкам ( · ), также использовались жирные скобки, применяемые на доске, например, а также другие необычные формы знаков скобок, доступные в шрифте издателя, сопровождаемые сноской на полях.