Кіріспе
Математикалық белгілеу
Математикада Иверсон жақшасы, Кеннет Иверсонның есімімен аталған, Кронекер дельтасын жалпылайтын белгілеу, ол 1=x = y мәлімдемесінің Иверсон жақшасы болып табылады. Ол кез келген мәлімдемені сол мәлімдемедегі еркін айнымалылардың функциясы ретінде бейнелейді. Бұл функция мәлімдеме дұрыс болатын айнымалылардың мәндері үшін 1 мәнін қабылдайды, ал қалған жағдайларда 0 мәнін қабылдайды. Ол әдетте мәлімдемені квадрат жақшалардың ішіне қою арқылы белгіленеді:
In mathematics, the Iverson bracket, named after Kenneth E. Iverson, is a notation that generalises the Kronecker delta, which is the Iverson bracket of the statement 1=x = y. It maps any statement to a function of the free variables in that statement. This function is defined to take the value 1 for the values of the variables for which the statement is true, and takes the value 0 otherwise. It is generally denoted by putting the statement inside square brackets:
Басқаша айтқанда, мәлімдеменің Иверсон жақшасы – мәлімдеме дұрыс болатын мәндер жиынының индикатор функциясы. Иверсон жақшасы жиынтық индексіне шектеусіз сигма белгісін пайдалануға мүмкіндік береді. Яғни, кез келген бүтін санның қасиеті үшін , шектелген қосындыны шектелмеген түрде қайта жазуға болады . Бұл конвенция бойынша, Iverson жақшасы 0-ге тең болатын k-ның мәндері үшін анықталмауы керек; яғни, қосылғыш мәні анықталғанына қарамастан 0-ге тең болуы керек. Бұл белгілеуді бастапқыда Кеннет Иверсон өзінің APL бағдарламалау тілінде енгізді, бірақ ол тек қана жақшаға алынған бір реляциялық операторлармен шектелген, ал кез келген мәлімдемелерге қолдану, квадрат жақшаларға белгілеу шектеулері және қосындылауға қолданылуы Дональд Кнутпен қолданылды, бұл жақшадағы логикалық өрнектердегі қатысуды болдырмау үшін жасалды.
Қасиеттері
Айверсон жақшаларындағы арифметика, логика және жиын операциялары арасында тікелей байланыс бар. Мысалы, A және B жиындар болсын, ал P – бүтін сандардың кез келген қасиеті болсын; онда бізде:
Мысалдар
Жазба жиындылардың (немесе интегралдардың) шекаралық шарттарын жиындыға жеке көбейткіш ретінде шығаруға мүмкіндік береді, жиынды операторының маңындағы орынды босатады, бірақ одан да маңыздысы, оны алгебралық амалдармен өңдеуге жағдай жасайды.
Ерекше жағдайларды оңайлату
Айверсон жақшасының тағы бір қолданылуы – ерекше жағдайлары бар теңдеулерді жеңілдету. Мысалы, формула n > 1 үшін ғана дұрыс, ал n = 1 болғанда қателік туындайды. Барлық оң бүтін сандар n үшін (яғни, анықталған барлық мәндер үшін) жарамды тепе-теңдік алу үшін Айверсон жақшасын қолданатын түзету мүшесін қосуға болады:
is valid for n > 1 but is off by for 1=n = 1. To get an identity valid for all positive integers n (i. e., all values for which is defined), a correction term involving the Iverson bracket may be added:
Әдеттегі функциялар тұрғысынан өрнектеу
1830 жылдары Гульельмо Далла Соммаха қазіргі кезде жазылатын мынаны көрсету үшін бұл өрнекті пайдаланды; ол сондай-ақ, мысалы, нұсқаларын да қолданды. Бір жалпы қағида бойынша, бұл шамалар анықталған жерде тең болады: егер x > 0 болса, 1-ге тең, егер x = 0 болса, 0-ге тең, ал қалған жағдайларда анықталмайды.
Нотациялық өзгерістер
Қазіргі кездегі стандартты квадрат жақшалар [ · ] және бастапқы жақшалар ( · ) қатар, тақтадағы қалың жақшалар да қолданылған, мысалы, сондай-ақ баспагердің қаріпінде бар басқа да ерекше жақша белгілері, жанында түсіндірме жазбасымен бірге пайдаланылған.