Введение
Первобытный способ вычисления площади — это метод нахождения площади фигуры с использованием пределов. Метод исчерпания (methodus exhaustionis) — это метод определения площади фигуры путем вписывания в неё последовательности многоугольников, площади которых стремятся к площади охватывающей фигуры. Если последовательность построена правильно, то разница между площадью n-го многоугольника и площадью охватывающей фигуры становится сколь угодно малой при увеличении n. По мере того, как эта разница становится сколь угодно малой, возможные значения площади фигуры систематически "исчерпываются" последовательно устанавливаемыми нижними границами площадей членов последовательности. Метод исчерпания обычно требовал доказательства от противного, известного как reductio ad absurdum. Это сводится к нахождению площади области путем первоначального сравнения её с площадью другой области, которую можно "исчерпать" так, чтобы её площадь стала сколь угодно близкой к истинной площади. Доказательство включает в себя предположение, что истинная площадь больше, чем площадь второй области, и доказательство ложности этого утверждения, а затем предположение, что она меньше, чем площадь второй области, и доказательство ложности и этого утверждения.
the method of finding the area of a shape using limits
The method of exhaustion (methodus exhaustionis) is a method of finding the area of a shape by inscribing inside it a sequence of polygons whose areas converge to the area of the containing shape. If the sequence is correctly constructed, the difference in area between the nth polygon and the containing shape will become arbitrarily small as n becomes large. As this difference becomes arbitrarily small, the possible values for the area of the shape are systematically "exhausted" by the lower bound areas successively established by the sequence members. The method of exhaustion typically required a form of proof by contradiction, known as reductio ad absurdum. This amounts to finding an area of a region by first comparing it to the area of a second region, which can be "exhausted" so that its area becomes arbitrarily close to the true area. The proof involves assuming that the true area is greater than the second area, proving that assertion false, assuming it is less than the second area, then proving that assertion false, too.
История
Идея возникла в конце V века до н.э. у Антифона, хотя не совсем ясно, насколько хорошо он её осознавал. Теория была сформулирована в строгой форме несколькими десятилетиями позже Евдоксом из Книда, который использовал её для вычисления площадей и объёмов. Позже, в III веке н.э., Лю Хуэй независимо разработал этот метод в Китае для нахождения площади круга. Впервые термин был использован в 1647 году Григорием Сент-Винсентом в труде "Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum". Метод исчерпывания считается предшественником методов дифференциального и интегрального исчисления. Развитие аналитической геометрии и строгого интегрального исчисления в XVII–XIX веках поглотило метод исчерпывания, в результате чего он больше не применяется явно для решения задач. Важной альтернативой был принцип Кавальери, также известный как метод неделимых, который впоследствии эволюционировал в дифференциальное и интегральное исчисление, разработанное Робервалем, Торричелли, Уоллисом, Лейбницем и другими.
Евклид
Евклид использовал метод исчерпания, чтобы доказать следующие шесть предложений в 12-й книге своих «Начал». Предложение 2: Площадь кругов пропорциональна квадрату их диаметров. Предложение 5: Объемы двух тетраэдров с одинаковой высотой пропорциональны площадям их треугольных оснований. Предложение 10: Объем конуса составляет одну треть объема соответствующего цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Предложение 11: Объем конуса (или цилиндра) с одинаковой высотой пропорционален площади основания. Предложение 12: Объем конуса (или цилиндра), подобного другому, пропорционален кубу отношения диаметров их оснований. Предложение 18: Объем сферы пропорционален кубу ее диаметра.