Введение

алгебраический термин

В математике унипотентный элемент r кольца R – это элемент, для которого r − 1 является нильпотентным элементом; другими словами, (r − 1)n равно нулю для некоторого n.

В частности, квадратная матрица M является унипотентной матрицей тогда и только тогда, когда её характеристический многочлен P(t) является степенью t − 1. Следовательно, все собственные значения унипотентной матрицы равны 1. Термин квазиунипотентный означает, что некоторая степень является унипотентной, например, для диагонализируемой матрицы с собственными значениями, являющимися корнями из единицы. В теории алгебраических групп элемент группы называется унипотентным, если он действует унипотентно в некотором естественном представлении группы. Унипотентная аффинная алгебраическая группа – это группа, все элементы которой унипотентны.

Определение с помощью теории колец

Элемент x аффинной алгебраической группы называется унипотентным, если его соответствующий оператор правого сдвига, rx, на аффинном координатном кольце A[G] группы G является локально унипотентным как элемент кольца линейных эндоморфизмов A[G]. (Локально унипотентным означает, что его ограничение на любое конечномерное устойчивое подпространство A[G] является унипотентным в обычном смысле теории колец.) Аффинная алгебраическая группа называется унипотентной, если все её элементы унипотентны. Любая унипотентная алгебраическая группа изоморфна замкнутой подгруппе группы верхнетреугольных матриц с единичными элементами на диагонали, и наоборот, любая такая подгруппа унипотентна. В частности, любая унипотентная группа является нильпотентной группой, хотя обратное неверно (контрпример: диагональные матрицы в GLn(k)). Например, стандартное представление на с базисом имеет фиксированный вектор .

Определение с теорией представления

Если однопотентная группа действует на аффинное многообразие, то все её орбиты замкнуты, а если она действует линейно на конечномерном векторном пространстве, то у неё есть ненулевой неподвижный вектор. Фактически, последнее свойство характеризует однопотентные группы. Страница 8, где является абелевым многообразием, является многообразием мультипликативного типа (то есть геометрически является произведением торов и алгебраических групп вида ) и является однопотентной группой.