Алгоритм восстановления сигнала по дискретным отсчетам
Whittaker–Shannon interpolation formula
Интерполяция Уиттакера-Шеннона: алгоритм восстановления непрерывного сигнала из дискретных данных. Теорема Найквиста-Шеннона, sinc-интерполяция, кардинальный ряд.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Алгоритм (вос)становления сигнала
Signal (re )construction algorithm
Формула интерполяции Уиттакера — Шеннона, или интерполяция sinc, — это метод построения непрерывной по времени функции, ограниченной по полосе, из последовательности вещественных чисел. Формула восходит к работам Э. Бореля в 1898 году и Э. Т. Уиттакера в 1915 году, была упомянута в работах Дж. М. Уиттакера в 1935 году, а также использовалась в формулировке теоремы Котельникова — Шеннона Клодом Шенноном в 1949 году. Она также обычно называется формулой интерполяции Шеннона и формулой интерполяции Уиттакера. Э. Т. Уиттакер, опубликовавший её в 1915 году, назвал её рядом кардинальных функций.
The Whittaker–Shannon interpolation formula or sinc interpolation is a method to construct a continuous time bandlimited function from a sequence of real numbers. The formula dates back to the works of E. Borel in 1898, and E. T. Whittaker in 1915, and was cited from works of J. M. Whittaker in 1935, and in the formulation of the Nyquist–Shannon sampling theorem by Claude Shannon in 1949. It is also commonly called Shannon's interpolation formula and Whittaker's interpolation formula. E. T. Whittaker, who published it in 1915, called it the Cardinal series.
Стационарные случайные процессы
Если x[n] является бесконечной последовательностью отсчетов выборочной функции стационарного процесса в широком смысле, то она не принадлежит ни одному пространству Lₚ, с вероятностью 1; то есть бесконечная сумма отсчетов, возведенных в степень p, не имеет конечного математического ожидания. Тем не менее, формула интерполяции сходится с вероятностью 1. Сходимость можно легко показать, вычислив дисперсии усеченных членов суммирования и продемонстрировав, что дисперсию можно сделать сколь угодно малой, выбрав достаточное количество членов. Если математическое ожидание процесса не равно нулю, то необходимо рассматривать пары членов, чтобы также показать, что математическое ожидание усеченных членов стремится к нулю. Поскольку случайный процесс не имеет преобразования Фурье, условие, при котором сумма сходится к исходной функции, также должно быть иным. Стационарный случайный процесс имеет функцию автокорреляции и, следовательно, спектральную плотность в соответствии с теоремой Винера — Хинчина. Подходящим условием для сходимости к выборочной функции из процесса является то, что спектральная плотность процесса должна быть равна нулю на всех частотах, равных или превышающих половину частоты дискретизации.
If x[n] is an infinite sequence of samples of a sample function of a wide sense stationary process, then it is not a member of any or Lp space, with probability 1; that is, the infinite sum of samples raised to a power p does not have a finite expected value. Nevertheless, the interpolation formula converges with probability 1. Convergence can readily be shown by computing the variances of truncated terms of the summation, and showing that the variance can be made arbitrarily small by choosing a sufficient number of terms. If the process mean is nonzero, then pairs of terms need to be considered to also show that the expected value of the truncated terms converges to zero. Since a random process does not have a Fourier transform, the condition under which the sum converges to the original function must also be different. A stationary random process does have an autocorrelation function and hence a spectral density according to the Wiener–Khinchin theorem. A suitable condition for convergence to a sample function from the process is that the spectral density of the process be zero at all frequencies equal to and above half the sample rate.