Абрамо Энрикес: Жизнь и вклад в алгебраическую геометрию

Введение

Итальянский математик (1871–1946)

Абрамо Джулио Умберто Федериго Энрике (5 января 1871 – 14 июня 1946) — итальянский математик, наиболее известный как первый, кто предложил классификацию алгебраических поверхностей в бирациональной геометрии, а также другими работами в области алгебраической геометрии.

Биография

Энрикс родился в Ливорно и вырос в Пизе, в сефардской еврейской семье португальского происхождения. Его младшим братом был зоолог Паоло Энрикес, который также был отцом Энцо Энрикеса Агнолетти и Анны Марии Энрикес Агнолетти. Он стал учеником Гидо Кастельнуово (который позже стал его зятем после женитьбы на его сестре Эльбине) и стал важным членом итальянской школы алгебраической геометрии. Он также занимался дифференциальной геометрией. Он сотрудничал с Кастельнуово, Коррадо Сегре и Франческо Севери. Он занимал должности в Болонском университете, а затем в Римском университете La Sapienza. В 1931 году он принес присягу на верность фашизму, а в 1933 году вступил в PNF. Несмотря на это, он потерял свою должность в 1938 году, когда фашистское правительство приняло "leggi razziali" (расовые законы), которые, в частности, запрещали евреям занимать должности профессоров в университетах. Классификация Энрикеса комплексных алгебраических поверхностей относительно бирациональной эквивалентности включала пять основных классов и служила основой для дальнейших исследований, пока Кунихико Кодайра не пересмотрел этот вопрос в 1950-х годах. Самым большим классом, в определенном смысле, были поверхности общего типа: те, для которых рассмотрение дифференциальных форм предоставляет линейные системы, достаточно обширные, чтобы сделать всю геометрию видимой. Работы итальянской школы дали достаточно понимания для распознавания других основных бирациональных классов. Рациональные поверхности и, в более общем смысле, управляемые поверхности (включая квадрики и кубические поверхности в проективном 3-мерном пространстве) обладают самой простой геометрией. Квартические поверхности в 3-мерном пространстве теперь классифицируются (при отсутствии особенностей) как случаи поверхностей K3; классический подход заключался в изучении поверхностей Куммера, сингулярных в 16 точках. Абелевы поверхности порождают поверхности Куммера в качестве частных от отношения. Остается класс эллиптических поверхностей, которые представляют собой расслоения над кривой с эллиптическими кривыми в качестве волокна, имеющие конечное число модификаций (то есть существует расслоение, локально тривиальное над кривой, за исключением некоторых точек). Задача классификации состоит в том, чтобы показать, что любая поверхность, лежащая в проективном пространстве любой размерности, в бирациональном смысле (после разрешения и сдувания некоторых кривых) описывается уже упомянутыми моделями. Как и другие работы итальянской школы, доказательства Энрикеса в настоящее время не считаются полностью строгими. Недостаточно было известно о некоторых технических аспектах: геометры работали, сочетая вдохновленные предположения и глубокое знание примеров. Оскар Зариски начал в 1930-х годах работу над более усовершенствованной теорией бирациональных преобразований, включающей методы коммутативной алгебры. Он также начал исследовать вопрос классификации для характеристики p, где возникают новые явления. Школы Кунихико Кодайры и Игоря Шафаревича заложили прочный фундамент для работы Энрикеса примерно к 1960 году.

Enriques was born in Livorno, and brought up in Pisa, in a Sephardi Jewish family of Portuguese descent. His younger brother was zoologist Paolo Enriques who was also the father of Enzo Enriques Agnoletti and Anna Maria Enriques Agnoletti. He became a student of Guido Castelnuovo (who later became his brother in law after marrying his sister Elbina), and became an important member of the Italian school of algebraic geometry. He also worked on differential geometry. He collaborated with Castelnuovo, Corrado Segre and Francesco Severi. He had positions at the University of Bologna, and then the University of Rome La Sapienza. In 1931 he swore allegiance to fascism, and in 1933 he became a member of the PNF. Despite this, he lost his position in 1938, when the Fascist government enacted the "leggi razziali" (racial laws), which in particular banned Jews from holding professorships in Universities. The Enriques classification, of complex algebraic surfaces up to birational equivalence, was into five main classes, and was background to further work until Kunihiko Kodaira reconsidered the matter in the 1950s. The largest class, in some sense, was that of surfaces of general type: those for which the consideration of differential forms provides linear systems that are large enough to make all the geometry visible. The work of the Italian school had provided enough insight to recognise the other main birational classes. Rational surfaces and more generally ruled surfaces (these include quadrics and cubic surfaces in projective 3 space) have the simplest geometry. Quartic surfaces in 3 spaces are now classified (when non singular) as cases of K3 surfaces; the classical approach was to look at the Kummer surfaces, which are singular at 16 points. Abelian surfaces give rise to Kummer surfaces as quotients. There remains the class of elliptic surfaces, which are fiber bundles over a curve with elliptic curves as fiber, having a finite number of modifications (so there is a bundle that is locally trivial actually over a curve less some points). The question of classification is to show that any surface, lying in projective space of any dimension, is in the birational sense (after blowing up and blowing down of some curves, that is) accounted for by the models already mentioned. No more than other work in the Italian school would the proofs by Enriques now be counted as complete and rigorous. Not enough was known about some of the technical issues: the geometers worked by a mixture of inspired guesswork and close familiarity with examples. Oscar Zariski started to work in the 1930s on a more refined theory of birational mappings, incorporating commutative algebra methods. He also began work on the question of the classification for characteristic p, where new phenomena arise. The schools of Kunihiko Kodaira and Igor Shafarevich had put Enriques' work on a sound footing by about 1960.

Работы

Энрикес Ф. Уроки описательной геометрии. Болонья, 1920. Энрикес Ф. Уроки проективной геометрии. Итальянское издание, 1898 и немецкое издание, 1903. Энрикес Ф. и Чизини О. Лекции по геометрической теории уравнений и алгебраических функций. Болонья, 1915–1934. Том 1, Том 2, Том 3, 1924; Том 4, 1934. Севери Ф. Уроки алгебраической геометрии: геометрия на кривой, поверхности Римана, абелевы интегралы. Итальянское издание, 1908. Энрикес Ф. Проблемы науки (перевод: Проблемы науки). Чикаго, 1914. Энрикес Ф. К истории логики. Лейпциг, 1927. Кастельнуово Г., Энрикес Ф. Алгебраические поверхности // Энциклопедия математических наук, III C 6. Энрикес Ф. Алгебраические поверхности. Болонья, 1949.