Инструмент для трисекции угла: "Томагавк" в геометрии.
Tomahawk (geometry)
Томагавк в геометрии: инструмент для трисекции угла. Описание формы, состоящей из полукруга и отрезков, и её применение в решении геометрических задач.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Инструмент для деления угла на три равные части
Tool for trisecting angles
Томагавк — это инструмент в геометрии для деления угла на три равные части, задача заключается в разделении угла на три одинаковые части. Границы его формы включают полукруг и два отрезка прямой, расположенные таким образом, что напоминают томагавк, топор коренных американцев. Однако это название в геометрии чаще используется для обозначения другой фигуры — арбелоса (криволинейного треугольника, ограниченного тремя взаимно касающимися полукругами).
The tomahawk is a tool in geometry for angle trisection, the problem of splitting an angle into three equal parts. The boundaries of its shape include a semicircle and two line segments, arranged in a way that resembles a tomahawk, a Native American axe. but that name is more commonly used in geometry to refer to a different shape, the arbelos (a curvilinear triangle bounded by three mutually tangent semicircles).
Описание
Основная форма томахока состоит из полукруга («лезвие» томахока), с линейным сегментом длиной радиуса, простирающимся по той же линии, что и диаметр полукруга (конец которого является «шипом» томахока), и с другим линейным сегментом произвольной длины («рукоятью» томахока), перпендикулярным диаметру. Для того чтобы сделать его физическим инструментом, его рукоять и шип могут быть утолщены, при условии, что линейный сегмент вдоль рукояти продолжает оставаться частью границы фигуры. В отличие от аналогичного деления на три части с использованием угольника, другая сторона утолщенной рукояти не обязана быть параллельной этому линейному сегменту. В некоторых источниках используется полный круг вместо полукруга. Если угол, который требуется разделить на три части, слишком острый по отношению к длине рукояти томахока, то может оказаться невозможным поместить томахок в угол таким образом, но эту трудность можно преодолеть, многократно удваивая угол, пока он не станет достаточно большим для трисекции томахоком, а затем многократно деля тресектированный угол пополам столько же раз, сколько исходный угол был удвоен. Если вершина угла обозначена как A, точка касания лезвия – B, центр полукруга – C, верх рукояти – D, а шип – E, то треугольники △ACD и △ADE являются прямоугольными треугольниками с общим основанием и равной высотой, следовательно, они конгруэнтны. Поскольку стороны и треугольника △ABC являются соответственно касательной и радиусом полукруга, они перпендикулярны друг другу, и △ABC также является прямоугольным треугольником; он имеет ту же гипотенузу, что и △ACD, и те же длины сторон, поэтому он также конгруэнтен другим двум треугольникам, что показывает, что три угла, образованные в вершине, равны. И хотя томахок может быть использован для трисекции угла, это не противоречит теореме Пьера Вантцеля 1837 года о том, что произвольные углы нельзя разделить на три части только с помощью циркуля и линейки без отметок. Причина этого в том, что помещение построенного томахока в требуемое положение является формой неусиса, которая не допускается при построении с помощью циркуля и линейки.
The basic shape of a tomahawk consists of a semicircle (the "blade" of the tomahawk), with a line segment the length of the radius extending along the same line as the diameter of the semicircle (the tip of which is the "spike" of the tomahawk), and with another line segment of arbitrary length (the "handle" of the tomahawk) perpendicular to the diameter. In order to make it into a physical tool, its handle and spike may be thickened, as long as the line segment along the handle continues to be part of the boundary of the shape. Unlike a related trisection using a carpenter's square, the other side of the thickened handle does not need to be made parallel to this line segment. In some sources a full circle rather than a semicircle is used, If the angle to be trisected is too sharp relative to the length of the tomahawk's handle, it may not be possible to fit the tomahawk into the angle in this way, but this difficulty may be worked around by repeatedly doubling the angle until it is large enough for the tomahawk to trisect it, and then repeatedly bisecting the trisected angle the same number of times as the original angle was doubled. If the apex of the angle is labeled A, the point of tangency of the blade is B, the center of the semicircle is C, the top of the handle is D, and the spike is E, then triangles △ACD and △ADE are both right triangles with a shared base and equal height, so they are congruent triangles. Because the sides and of triangle △ABC are respectively a tangent and a radius of the semicircle, they are at right angles to each other and △ABC is also a right triangle; it has the same hypotenuse as △ACD and the same side lengths , so again it is congruent to the other two triangles, showing that the three angles formed at the apex are equal. and may be used to trisect an angle, it does not contradict Pierre Wantzel's 1837 theorem that arbitrary angles cannot be trisected by compass and unmarked straightedge alone. The reason for this is that placing the constructed tomahawk into the required position is a form of neusis that is not allowed in compass and straightedge constructions.
История
Изобретатель томагавка неизвестен, но самые ранние упоминания о нём относятся к Франции XIX века. Он датируется как минимум 1835 годом, когда он был упомянут в книге Клода Люсьена Бержери «Géométrie appliquée à l'industrie, à l'usage des artistes et des ouvriers» (3-е издание). Брокар, в свою очередь, связывает его изобретение с мемуарами 1863 года французского морского офицера Q58012000.
The inventor of the tomahawk is unknown, but the earliest references to it come from 19th century France. It dates back at least as far as 1835, when it appeared in a book by Claude Lucien Bergery, Géométrie appliquée à l'industrie, à l'usage des artistes et des ouvriers (3rd edition). Brocard in turn attributes its invention to an 1863 memoir by French naval officer Q58012000.