Бұрыштарды үш бөлікке бөлу құралы: "Томахок"

Кіріспе

Бұрышты үш бөлікке бөлуге арналған құрал. Томахок – бұрышты үш бөлікке бөлу мәселесін шешуге арналған геометриялық құрал. Оның пішіні жарты шеңбер және екі түзу сызық сегментінен тұрады, бұл пішін американдықтардың томахок балтасына ұқсас. Алайда, бұл атау геометрияда көбінесе басқа пішін – арбелосқа (үш бір-біріне жанасқан жарты шеңберлермен шектелген қисық үшбұрышқа) қатысты қолданылады.

Сипаттама

Томахоктың негізгі пішіні жарты шеңберден ("томахоктың" пышағы) тұрады, жарты шеңбердің диаметрімен бірдей ұзындықтағы радиус ұзындығындағы сызық сегментімен (оның ұшы - томахоқтың "ұшы"), және кез келген ұзындықтағы басқа сызық сегментімен (томахоқтың "сабы") диаметріне перпендикуляр. Оны нақты құралға айналдыру үшін, оның сабы мен ұшы қалыңдатылуы мүмкін, егер сабы бойымен сызық сегменті пішіннің шекарасының бөлігі болып қала берсе. Балташының квадраты арқылы жасалған ұқсас үш бөлікке бөлуден айырмашылығы, қалыңдатылған сабының екінші жағы осы сызық сегментіне параллель жасалуы қажет емес. Кейбір дереккөздерде жарты шеңбердің орнына толық шеңбер қолданылады. Егер үшке бөлінетін бұрыш томахоқтың сабының ұзындығына қарағанда тым өткір болса, томахоқты бұрышқа осылай орналастыру мүмкін болмайды, бірақ бұл қиындықты бұрышты қайта-қайта екі есеге көбейтіп, томахок оны үшке бөлуге жеткілікті болғанша, содан кейін үшке бөлінген бұрышты екіге бөліп, бастапқы бұрыш екі еселенгендей етіп қайта-қайта екіге бөлу арқылы шешуге болады. Егер бұрыштың төбесі А деп белгіленсе, пышақтың жанасу нүктесі B, жарты шеңбердің орталығы C, сабының жоғарғы жағы D, ал ұшы E болса, онда △ACD және △ADE үшбұрыштары ортақ негізге және бірдей биіктікке ие тікбұрышты үшбұрыштар, сондықтан олар тең үшбұрыштар. △ABC үшбұрышының қабырғалары және радиусы жарты шеңбердің жанамасы мен радиусы болғандықтан, олар бір-біріне тік бұрышта орналасқан және △ABC де тікбұрышты үшбұрыш құрайды; оның гипотенузасы △ACD-мен және қабырғалары бірдей ұзындығы бар, сондықтан ол басқа екі үшбұрышқа да тең, бұл төбеде қалыптасқан үш бұрыштың тең екенін көрсетеді. Бұрышты үшке бөлу үшін қолданылса да, бұл Пьер Вантцельдің 1837 жылғы теоремасына қайшы келмейді, яғни кез келген бұрыштарды тек компас пен белгісіз түзу сызықпен үшке бөлу мүмкін емес. Мұның себебі - жасалған томахоқты қажетті орнына қою – компас пен түзу сызық құрылыстарында рұқсат етілмейтін нейсис түрі.

The basic shape of a tomahawk consists of a semicircle (the "blade" of the tomahawk), with a line segment the length of the radius extending along the same line as the diameter of the semicircle (the tip of which is the "spike" of the tomahawk), and with another line segment of arbitrary length (the "handle" of the tomahawk) perpendicular to the diameter. In order to make it into a physical tool, its handle and spike may be thickened, as long as the line segment along the handle continues to be part of the boundary of the shape. Unlike a related trisection using a carpenter's square, the other side of the thickened handle does not need to be made parallel to this line segment. In some sources a full circle rather than a semicircle is used, If the angle to be trisected is too sharp relative to the length of the tomahawk's handle, it may not be possible to fit the tomahawk into the angle in this way, but this difficulty may be worked around by repeatedly doubling the angle until it is large enough for the tomahawk to trisect it, and then repeatedly bisecting the trisected angle the same number of times as the original angle was doubled. If the apex of the angle is labeled A, the point of tangency of the blade is B, the center of the semicircle is C, the top of the handle is D, and the spike is E, then triangles △ACD and △ADE are both right triangles with a shared base and equal height, so they are congruent triangles. Because the sides and of triangle △ABC are respectively a tangent and a radius of the semicircle, they are at right angles to each other and △ABC is also a right triangle; it has the same hypotenuse as △ACD and the same side lengths , so again it is congruent to the other two triangles, showing that the three angles formed at the apex are equal. and may be used to trisect an angle, it does not contradict Pierre Wantzel's 1837 theorem that arbitrary angles cannot be trisected by compass and unmarked straightedge alone. The reason for this is that placing the constructed tomahawk into the required position is a form of neusis that is not allowed in compass and straightedge constructions.

Тарих

Томагавктың ойлап табушысы белгісіз, бірақ оған ең алғашқы сілтемелер 19 ғасырдағы Франциядан келген. Ол кем дегенде 1835 жылға дейін барады, сол жылы Клод Люсьен Бержеридің "Geométrie appliquée à l'industrie, à l'usage des artistes et des ouvriers" (3-ші басылым) кітабында пайда болды. Брокард бұл өнертабысты француз әскери-теңіз офицері Q58012000-нің 1863 жылғы естеліктеріне жатқызады.