Введение

Теорема об равномерной сходимости
В теории меры, области математики, теорема Егорова устанавливает условие для равномерной сходимости поточечно сходящейся последовательности измеримых функций. Она также называется теоремой Северини — Егорова, в честь итальянского математика Карло Северини и русского физика и геометра Дмитрия Егорова, которые опубликовали независимые доказательства соответственно в 1910 и 1911 годах. Теорема Егорова может быть использована совместно с непрерывными функциями с компактным носителем для доказательства теоремы Лузина об интегрируемых функциях.

Историческая записка

Первое доказательство теоремы было дано Карло Северини в 1910 году: он использовал этот результат как инструмент в своих исследованиях рядов ортогональных функций. Его работа, по-видимому, осталась незамеченной за пределами Италии, вероятно, из-за того, что она была написана на итальянском языке, опубликована в научном журнале с ограниченным распространением и рассматривалась лишь как средство для получения других теорем. Год спустя Дмитрий Егоров опубликовал свои независимо полученные результаты, и теорема стала широко известна под его именем: однако, часто встречаются ссылки на эту теорему как на теорему Северини — Егорова. Первыми математиками, независимо доказавшими теорему в современном абстрактном пространстве мер, были [имена математиков] в [год] и [имена математиков] в [год]: более раннее обобщение принадлежит Николаю Лузину, которому удалось несколько ослабить требование конечности меры области сходимости точечно сходящихся функций в его фундаментальной работе. Дальнейшие обобщения были даны значительно позже Павлом Коровкиным в работе [название работы] и Габриэлем Мокободски в работе [название работы].

Заявление

Пусть (fn) — последовательность измеримых функций, принимающих значения в M, где M — сепаративное метрическое пространство, на некотором измеримом пространстве (X, Σ, μ). Предположим, что существует измеримое подмножество A ⊆ X с конечной мерой μ, такое что (fn) сходится почти всюду на A к предельной функции f. Следующий результат верен: для любого ε > 0 существует измеримое подмножество B ⊆ A, такое что μ(B) < ε, и (fn) сходится к f равномерно на A \ B. Здесь μ(B) обозначает меру μ множества B. Иными словами, теорема утверждает, что почти всюду сходимость на A влечет за собой, казалось бы, более сильную равномерную сходимость всюду, кроме некоторого подмножества B произвольно малой меры. Этот тип сходимости также называют почти равномерной сходимостью.

Обсуждение предположений и контрпример

Необходима гипотеза μ(A) < ∞. Чтобы увидеть это, достаточно построить контрпример, когда μ — мера Лебега: рассмотрим последовательность индикаторных функций с вещественными значениями, определенных на вещественной прямой. Эта последовательность поточечно сходится к нулевой функции всюду, но не сходится равномерно ни на одном множестве B конечной меры. Контрпример в n-мерном реальном векторном пространстве может быть построен, как показано в работе [укажите автора/источник]. Разделимость метрического пространства необходима для того, чтобы убедиться, что для M-значных, измеримых функций f и g расстояние d(f(x), g(x)) снова является измеримой функцией от x с вещественными значениями.

Версия Лузина

Здесь представлено обобщение теоремы Северини — Егорова, выполненное Николаем Лузиным, в соответствии с.

Заявление

При той же гипотезе абстрактной теоремы Северини–Егорова предположим, что A является объединением последовательности измеримых множеств конечной меры μ, и (fn) — заданная последовательность M-значных измеримых функций на некотором измерительном пространстве (X, Σ, μ), такая, что (fn) сходится почти всюду на A к предельной функции f. Тогда A можно представить в виде объединения последовательности измеримых множеств H, A1, A2, таких, что μ(H) = 0 и (fn) сходится к f равномерно на каждом множестве Ak.

Доказательство

Достаточно рассмотреть случай, когда множество A само по себе имеет конечную меру μ: используя эту гипотезу и стандартную теорему Северини — Егорова, можно определить математической индукцией последовательность множеств {Ak}k=1,2, такую, что

и такую, что (fn) сходится к f равномерно на каждом множестве Ak для каждого k. Выбрав тогда, очевидно, μ(H) = 0, и теорема доказана.

Версия Коровкина

Доказательство варианта Коровкина в значительной степени следует варианту, представленному в работе , который, однако, в некоторой степени обобщает его, рассматривая допустимые функционалы вместо неотрицательных мер и неравенства и соответственно в условиях 1 и 2.

Исторические ссылки

, доступна на Gallica. Опубликовано Академией Джоения в Катании. , доступно в Итальянской цифровой библиотеке математики. Некролог Карло Северини. Короткая заметка, в которой Леонида Тонелли отмечает Северини как автора первого доказательства теоремы Северини — Егорова.

Научные ссылки

Окончательная монография по интегральному и мереному исчислению: рассмотрение предельного поведения интеграла различных видов последовательностей структур, связанных с мерой (измеримых функций, измеримых множеств, мер и их комбинаций), представляется в значительной степени исчерпывающим. Содержит раздел, озаглавленный «Теоремы типа Егорова», где основная теорема Северини — Егорова приведена в форме, которая несколько обобщает форму, представленную в работе , рассмотренной и (доступна в Польской виртуальной библиотеке науки).