Введение
Топологическое пространство, топология которого порождается равномерной структурой.
In mathematics, a topological space X is uniformizable if there exists a uniform structure on X that induces the topology of X. Equivalently, X is uniformizable if and only if it is homeomorphic to a uniform space (equipped with the topology induced by the uniform structure). Any (pseudo)metrizable space is uniformizable since the (pseudo)metric uniformity induces the (pseudo)metric topology. The converse fails: There are uniformizable spaces that are not (pseudo)metrizable. However, it is true that the topology of a uniformizable space can always be induced by a family of pseudometrics; indeed, this is because any uniformity on a set X can be defined by a family of pseudometrics. Showing that a space is uniformizable is much simpler than showing it is metrizable. In fact, uniformizability is equivalent to a common separation axiom:
A topological space is uniformizable if and only if it is completely regular.
В математике, топологическое пространство X называется униформизируемым, если на X существует равномерная структура, индуцирующая топологию X. Эквивалентно, X униформизируемо тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно равномерному пространству (оснащенному топологией, индуцированной равномерной структурой). Любое (псевдо)метризуемое пространство является униформизируемым, поскольку (псевдо)метрическая равномерность индуцирует (псевдо)метрическую топологию. Обратное неверно: существуют униформизируемые пространства, которые не являются (псевдо)метризуемыми. Однако верно, что топология униформизируемого пространства всегда может быть индуцирована семейством псевдометрик; это происходит потому, что любая равномерная структура на множестве X может быть определена семейством псевдометрик. Показать, что пространство униформизируемо, гораздо проще, чем показать, что оно метризуемо. Фактически, униформизируемость эквивалентна аксиоме полноты: топологическое пространство униформизируемо тогда и только тогда, когда оно вполне регулярно.
In mathematics, a topological space X is uniformizable if there exists a uniform structure on X that induces the topology of X. Equivalently, X is uniformizable if and only if it is homeomorphic to a uniform space (equipped with the topology induced by the uniform structure). Any (pseudo)metrizable space is uniformizable since the (pseudo)metric uniformity induces the (pseudo)metric topology. The converse fails: There are uniformizable spaces that are not (pseudo)metrizable. However, it is true that the topology of a uniformizable space can always be induced by a family of pseudometrics; indeed, this is because any uniformity on a set X can be defined by a family of pseudometrics. Showing that a space is uniformizable is much simpler than showing it is metrizable. In fact, uniformizability is equivalent to a common separation axiom:
A topological space is uniformizable if and only if it is completely regular.
Вызываемая однородность
Один из способов построить равномерную структуру на топологическом пространстве X — взять начальную равномерность на X, индуцированную C(X), семейством вещественнозначных непрерывных функций на X. Это наиболее слабая равномерность на X, для которой все такие функции равномерно непрерывны. Подбазой для этой равномерности служит множество всех окрестностей
где f ∈ C(X) и ε > 0. Равномерная топология, порожденная указанной равномерностью, является начальной топологией, индуцированной семейством C(X). В общем случае, эта топология будет грубее заданной топологии на X. Две топологии совпадут тогда и только тогда, когда X является вполне регулярным.