Вариограмма в пространственной статистике

Введение

Функция пространственной статистики

В пространственной статистике теоретическая вариограмма, обозначаемая , является функцией, описывающей степень пространственной зависимости пространственного случайного поля или стохастического процесса. Полувариограмма – это половина вариограммы. В качестве конкретного примера из области золотодобычи, вариограмма показывает, насколько будут различаться два образца, взятых из зоны добычи, по процентному содержанию золота в зависимости от расстояния между ними. Образцы, взятые на большом расстоянии друг от друга, будут различаться в большей степени, чем образцы, взятые близко друг к другу.

Эмпирическая вариограмма

Как правило, для измеренных данных необходима эмпирическая вариограмма, поскольку информация об образцах недоступна для каждой точки пространства. Информацией об образце может быть, например, концентрация железа в образцах почвы или интенсивность пикселей на изображении. Каждая единица информации об образце имеет координаты в двумерном пространстве отбора проб, где и – географические координаты. В случае анализа железа в почве, пространство отбора проб может быть трехмерным. Если присутствует временная изменчивость (например, содержание фосфора в озере), то может быть четырехмерным вектором. Если измерения заданы в разных единицах (например, расстояние и время), к каждому измерению можно применить масштабный коэффициент для получения модифицированного евклидова расстояния. Образцы могут быть взяты в различных точках. Это даст набор образцов в точках. Обычно на графиках отображаются значения полувариограммы как функция расстояния между точками отбора проб. В случае эмпирической полувариограммы используются интервалы расстояний, а не точные расстояния, и обычно предполагаются изотропные условия (то есть является функцией только и не зависит от других переменных, таких как положение центра). Тогда эмпирическую полувариограмму можно рассчитать для каждого интервала:

Иными словами, находятся все пары точек, расстояние между которыми равно (плюс-минус некоторый допуск по ширине интервала). Эти точки образуют множество Число точек в этом интервале равно . Затем для каждой пары точек вычисляется квадрат разности значений (например, содержание железа в образце почвы или интенсивность пикселя). Эти квадраты разностей суммируются и нормализуются на натуральное число . По определению, результат делится на 2 для полувариограммы на данном расстоянии. Для повышения скорости вычислений достаточно использовать только уникальные пары точек. Например, для двух наблюдений, взятых из точек с расстоянием между ними, необходимо учитывать только пару [], поскольку пара [] не предоставляет никакой дополнительной информации.

Обсуждение

В геостатистике для описания пространственной или временной корреляции наблюдений используются три функции: коррелограмма, ковариация и полувариограмма. Последняя также часто называется вариограммой. Вариограмма является ключевой функцией в геостатистике, поскольку она используется для построения модели пространственной/временной корреляции наблюдаемого явления. Таким образом, различают экспериментальную вариограмму, которая является визуализацией возможной пространственно-временной корреляции, и модель вариограммы, которая в дальнейшем используется для определения весов функции кригинга. Следует отметить, что экспериментальная вариограмма является эмпирической оценкой ковариации гауссовского процесса. В силу этого, она может не быть положительно определенной и, следовательно, не может быть непосредственно использована в кригинге без ограничений или дополнительной обработки. Это объясняет, почему используется ограниченное число моделей вариограмм: наиболее распространены линейная, сферическая, гауссовская и экспоненциальная модели.

Приложения

Эмпирическая вариограмма используется в геостатистике как первоначальная оценка модели вариограммы, необходимой для пространственной интерполяции методом кригинга. Эмпирические вариограммы пространственно-временной изменчивости средних по столбцу концентраций углекислого газа были использованы для определения критериев сопоставления спутниковых и наземных измерений. Эмпирические вариограммы рассчитываются на основе наблюдений интенсивных колебаний грунта при землетрясениях. Эти модели применяются для оценки сейсмического риска и потерь для пространственно распределенной инфраструктуры.