Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Дополнительный математический объект
Additional mathematical object
В математике структура — это множество, снабжённое некоторыми дополнительными свойствами, определёнными на этом множестве (например, операцией, отношением, метрикой или топологией). Часто эти дополнительные свойства присоединяются к множеству или связаны с ним, чтобы придать ему дополнительный смысл или значимость. Частичный список возможных структур включает меры, алгебраические структуры (группы, поля и т. д.), топологии, метрические структуры (геометрии), порядки, графы, события, отношения эквивалентности, дифференциальные структуры и категории. Иногда множество наделяется несколькими свойствами одновременно, что позволяет математикам более полно изучать взаимодействие между различными структурами. Например, порядок накладывает определённую форму, структуру или топологию на множество, и если множество обладает как топологическим, так и групповым свойствами, связанными определённым образом, то структура становится топологической группой. Особый интерес во многих областях математики представляют отображения между множествами, сохраняющие структуры (то есть структуры в области определения переходят в эквивалентные структуры в области значений). Примерами служат гомоморфизмы, сохраняющие алгебраические структуры; гомеоморфизмы, сохраняющие топологические структуры; и диффеоморфизмы, сохраняющие дифференциальные структуры.
In mathematics, a structure is a set provided with some additional features on the set (e. g. an operation, relation, metric, or topology). Often, the additional features are attached or related to the set, so as to provide it with some additional meaning or significance. A partial list of possible structures are measures, algebraic structures (groups, fields, etc. ), topologies, metric structures (geometries), orders, graphs, events, equivalence relations, differential structures, and categories. Sometimes, a set is endowed with more than one feature simultaneously, which allows mathematicians to study the interaction between the different structures more richly. For example, an ordering imposes a rigid form, shape, or topology on the set, and if a set has both a topology feature and a group feature, such that these two features are related in a certain way, then the structure becomes a topological group. Mappings between sets which preserve structures (i. e., structures in the domain are mapped to equivalent structures in the codomain) are of special interest in many fields of mathematics. Examples are homomorphisms, which preserve algebraic structures; homeomorphisms, which preserve topological structures; and diffeomorphisms, which preserve differential structures.
История
В 1939 году французская группа под псевдонимом Николя Бурбаки рассматривала структуры как основу математики. Они впервые упомянули о них в своем "Фассикуле" по теории множеств и развили эту идею в главу IV издания 1957 года. Они выделили три фундаментальные структуры: алгебраическую, топологическую и структуру порядка.
In 1939, the French group with the pseudonym Nicolas Bourbaki saw structures as the root of mathematics. They first mentioned them in their "Fascicule" of Theory of Sets and expanded it into Chapter IV of the 1957 edition. They identified three mother structures: algebraic, topological, and order.