Введение

тип математической структуры.

В математике полная булева алгебра — это булева алгебра, в которой для каждого подмножества существует супремум (наименьшая верхняя граница). Полные булевы алгебры используются для построения булевозначных моделей теории множеств в теории вынуждения. Каждая булева алгебра A имеет по существу единственное завершение, которое является полной булевой алгеброй, содержащей A, и таким образом, что каждый элемент является супремумом некоторого подмножества A. Как частично упорядоченное множество, это завершение A является завершением Дедекинда — Макнейла. В более общем случае, если κ — кардинальное число, то булева алгебра называется κ-полной, если для каждого подмножества мощности, меньшей κ, существует супремум.

Полные булевые алгебры

Каждая конечная булева алгебра является полной. Алгебра подмножеств данного множества является полной булевой алгеброй. Регулярные открытые множества любого топологического пространства образуют полную булеву алгебру. Этот пример особенно важен, поскольку каждое форсирующее множество можно рассматривать как топологическое пространство (с базой топологии, состоящей из множеств, являющихся множеством всех элементов, меньших или равных заданному элементу). Соответствующая алгебра регулярных открытых множеств может быть использована для построения булевозначных моделей, которые затем эквивалентны расширениям, полученным с помощью данного форсирующего множества. Алгебра всех измеримых подмножеств σ-конечного пространства с мерой, по модулю множеств меры нуль, является полной булевой алгеброй. Если пространство с мерой – это единичный интервал с σ-алгеброй измеримых по Лебегу множеств, то булева алгебра называется случайной алгеброй. Булева алгебра всех множеств Байра по модулю ничтожных множеств в топологическом пространстве с счетной базой является полной; когда топологическое пространство – это множество действительных чисел, алгебра иногда называется алгеброй Кантора.

Неполные булевы алгебры

Алгебра всех подмножеств бесконечного множества, которые конечны или имеют конечное дополнение, является булевой алгеброй, но неполной. Алгебра всех измеримых подмножеств пространства с мерой является булевой алгеброй, ℵ₁-полной, но обычно не полной. Другой пример булевой алгебры, которая не является полной, — это булева алгебра P(ω) всех множеств натуральных чисел, фактор-пространство по идеалу Fin конечных подмножеств. Полученный объект, обозначаемый P(ω)/Fin, состоит из всех классов эквивалентности множеств натуральных чисел, где отношение эквивалентности заключается в том, что два множества натуральных чисел эквивалентны, если их симметрическая разность конечна. Булевы операции определяются аналогично; например, если A и B — два класса эквивалентности в P(ω)/Fin, то определяется как класс эквивалентности , где a и b — некоторые (любые) элементы A и B соответственно. Пусть теперь a₀, a₁, … — попарно непересекающиеся бесконечные множества натуральных чисел, и пусть A₀, A₁, … — соответствующие им классы эквивалентности в P(ω)/Fin. Тогда, для любой верхней границы X множеств A₀, A₁, … в P(ω)/Fin, мы можем найти меньшую верхнюю границу, удалив из представителя X по одному элементу из каждого aₙ. Следовательно, у Aₙ нет супремума.

Свойства полных булевых алгебр

Каждое подмножество полной булевой алгебры имеет супремум по определению; следовательно, каждое подмножество также имеет инфимум (наибольшую нижнюю границу). Для полной булевой алгебры оба бесконечных законов дистрибутивности выполняются тогда и только тогда, когда она изоморфна множеству степеней некоторого множества. Для полной булевой алгебры справедливы бесконечные законы де Моргана. Булева алгебра является полной тогда и только тогда, когда её пространство Стоуна простых идеалов является экстремально несвязным. Теорема Сикорского об расширении утверждает, что если A является подалгеброй булевой алгебры B, то любой гомоморфизм из A в полную булеву алгебру C может быть расширен до морфизма из B в C.

Свободные κ-полные булевые алгебры

Если аксиома выбора не ослаблена, свободные полные булевы алгебры, порожденные множеством, не существуют (если множество конечно). Более точно, для любого кардинала κ существует полная булева алгебра кардинальности 2κ, большей чем κ, которая порождается как полная булева алгебра счетным подмножеством; например, булева алгебра регулярных открытых множеств в пространстве произведения κω, где κ имеет дискретную топологию. Счетный порождающий набор состоит из всех множеств am,n для целых чисел m и n, состоящих из элементов x ∈ κω, таких что x(m) < x(n). (Эта булева алгебра называется коллапсирующей алгеброй, поскольку вынуждение с ее помощью коллапсирует кардинал κ в ω.) В частности, забывчивый функтор из полных булевых алгебр в множества не имеет левого сопряженного, хотя он непрерывен, и категория булевых алгебр является малой полной. Это показывает, что "условие множества решений" в теореме Фрейда о сопряженных функторах необходимо. Для заданного множества X можно построить свободную булеву алгебру A, порожденную этим множеством, а затем взять ее завершение B. Однако B не является "свободной" полной булевой алгеброй, порожденной X (если X конечно или аксиома выбора не используется), поскольку функцию из X в свободную булеву алгебру C в общем случае нельзя расширить до (сохраняющего супремум) морфизма булевых алгебр из B в C. С другой стороны, для любого фиксированного кардинала κ существует свободная (или универсальная) κ-полная булева алгебра, порожденная любым заданным множеством.