Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Процесс в физике
A process in physics
Брауновский мост — это непрерывный стохастический процесс B(t), распределение вероятности которого является условным распределением вероятности стандартного винеровского процесса W(t) (математическая модель броуновского движения) при условии (при стандартизации), что W(T) = 0, таким образом, процесс фиксирован одним и тем же значением как в момент времени t = 0, так и в момент времени t = T. Более точно:
A Brownian bridge is a continuous time stochastic process B(t) whose probability distribution is the conditional probability distribution of a standard Wiener process W(t) (a mathematical model of Brownian motion) subject to the condition (when standardized) that W(T) = 0, so that the process is pinned to the same value at both t = 0 and t = T. More precisely:
Математическое ожидание моста в любой момент времени t в интервале [0, T] равно нулю, а дисперсия равна , что означает наибольшую неопределенность в середине моста и нулевую неопределенность в конечных точках. Ковариация между B(s) и B(t) равна , или s(T − t)/T, если s < t. Инкременты брауновского моста не являются независимыми.
The expected value of the bridge at any t in the interval [0,T] is zero, with variance , implying that the most uncertainty is in the middle of the bridge, with zero uncertainty at the nodes. The covariance of B(s) and B(t) is , or s(T − t)/T if s < t.
The increments in a Brownian bridge are not independent.
Интуитивные замечания
Стандартный процесс Винера удовлетворяет условию W(0) = 0 и поэтому "зафиксирован" в начале координат, но другие точки не ограничены. В процессе брауновского моста, напротив, не только B(0) = 0, но мы также требуем, чтобы B(T) = 0, то есть процесс "зафиксирован" и в момент времени t = T. Подобно тому, как настоящий мост опирается на опоры на обоих концах, брауновский мост должен удовлетворять условиям на обоих концах интервала [0, T]. (В некотором обобщении иногда требуется B(t1) = a и B(t2) = b, где t1, t2, a и b – известные константы.) Предположим, мы сгенерировали ряд точек W(0), W(1), W(2), W(3) и т.д. траектории процесса Винера с помощью компьютерного моделирования. Теперь необходимо добавить точки в интервале [0, T], то есть выполнить интерполяцию между уже сгенерированными точками W(0) и W(T). Решение заключается в использовании брауновского моста, который должен проходить через значения W(0) и W(T).
A standard Wiener process satisfies W(0) = 0 and is therefore "tied down" to the origin, but other points are not restricted. In a Brownian bridge process on the other hand, not only is B(0) = 0 but we also require that B(T) = 0, that is the process is "tied down" at t = T as well. Just as a literal bridge is supported by pylons at both ends, a Brownian Bridge is required to satisfy conditions at both ends of the interval [0,T]. (In a slight generalization, one sometimes requires B(t1) = a and B(t2) = b where t1, t2, a and b are known constants.) Suppose we have generated a number of points W(0), W(1), W(2), W(3), etc. of a Wiener process path by computer simulation. It is now desired to fill in additional points in the interval [0,T], that is to interpolate between the already generated points W(0) and W(T). The solution is to use a Brownian bridge that is required to go through the values W(0) and W(T).