Введение
Многочленные нули, связанные с линейными факторами
В алгебре теорема о факторах связывает факторы многочлена с его корнями. В частности, если – многочлен, то является фактором тогда и только тогда, когда (то есть является корнем многочлена). Теорема является частным случаем теоремы об остатке от деления многочлена. Теорема вытекает из основных свойств сложения и умножения. Следовательно, теорема справедлива также, когда коэффициенты и элемент принадлежат любому коммутативному кольцу, а не только полю. В частности, поскольку многомерные многочлены можно рассматривать как одномерные относительно одной из своих переменных, имеет место следующее обобщение: если и – многомерные многочлены и не зависит от , то является фактором тогда и только тогда, когда является нулевым многочленом.
In algebra, the factor theorem connects polynomial factors with polynomial roots. Specifically, if is a polynomial, then is a factor of if and only if (that is, is a root of the polynomial). The theorem is a special case of the polynomial remainder theorem. The theorem results from basic properties of addition and multiplication. It follows that the theorem holds also when the coefficients and the element belong to any commutative ring, and not just a field. In particular, since multivariate polynomials can be viewed as univariate in one of their variables, the following generalization holds : If and are multivariate polynomials and is independent of , then is a factor of if and only if is the zero polynomial.
Факторизация многочленов
Две задачи, в которых часто применяется теорема о факторах, – это разложение многочлена на множители и нахождение корней многочлена; прямое следствие теоремы заключается в том, что эти задачи по существу эквивалентны. Теорема о факторах также используется для исключения известных корней из многочлена, сохраняя при этом все неизвестные корни, что позволяет получить многочлен более низкой степени, корни которого может быть легче найти. В общем виде метод выглядит следующим образом:
Выведите предполагаемый корень многочлена из его старшего коэффициента и свободного члена (см. теорему о рациональных корнях). Используйте теорему о факторах, чтобы заключить, что является множителем . Вычислите многочлен , например, с помощью деления многочленов в столбик или схемы Горнера. Заключите, что любой корень из является корнем из . Поскольку степень многочлена на единицу меньше степени , то "проще" найти оставшиеся корни, исследуя . Продолжайте этот процесс, пока многочлен не будет полностью разложен на множители, причем все его множители являются неприводимыми в или .
Deduce the candidate of zero of the polynomial from its leading coefficient and constant term (See Rational Root Theorem.) Use the factor theorem to conclude that is a factor of Compute the polynomial , for example using polynomial long division or synthetic division. Conclude that any root of is a root of Since the polynomial degree of is one less than that of , it is "simpler" to find the remaining zeros by studying Continuing the process until the polynomial is factored completely, which all its factors is irreducible on or .
Доказательство
Здесь представлено несколько доказательств теоремы. Если `a` является делителем `b`, то сразу следует, что `b` делится на `a`. Таким образом, в дальнейшем будет доказано только обратное утверждение.
Доказательство 1
Этот аргумент начинается с проверки теоремы для. То есть, он направлен на то, чтобы показать, что для любого многочлена, для которого верно, что для некоторого многочлена. С этой целью запишем явно как. Теперь заметим, что, следовательно,. Таким образом, этот случай доказан. Остается доказать теорему для общего случая, сведя его к рассмотренному выше случаю. С этой целью отметим, что является многочленом с корнем в. Исходя из ранее показанного, следует, что для некоторого многочлена. Наконец, .
Доказательство 2
Во-первых, заметим, что если α и β принадлежат какому-либо коммутативному кольцу (одному и тому же), то выполняется тождество. Это доказывается раскрытием скобок. Пусть R – любое коммутативное кольцо. Обозначим через (aᵢ) последовательность коэффициентов. Предположим, что aᵢ = 0 для некоторых i. Тогда заметим, что каждый член суммы имеет α в качестве множителя, благодаря факторизации выражений вида (x - α)(x - β), которая была рассмотрена выше. Следовательно, заключаем, что α является делителем (x - β)R.
Доказательство 3
Теорема может быть доказана с помощью деления многочленов по алгоритму Евклида: выполните деление с остатком многочлена на многочлен , чтобы получить , где . Поскольку , следует, что является постоянным. Наконец, заметим, что . Таким образом, деление с остатком, выполненное выше, возможно в каждом коммутативном кольце, поскольку является мо́ническим многочленом, и, следовательно, алгоритм деления многочленов в столбик не включает деление коэффициентов.
The Euclidean division above is possible in every commutative ring since is a monic polynomial, and, therefore, the polynomial long division algorithm does not involves any division of coefficients.
Следовательность других теорем
Это также является следствием теоремы об остатках от деления многочленов, но, в свою очередь, может быть использовано для доказательства этой теоремы. Когда многочлены являются многомерными, а коэффициенты принадлежат алгебраически замкнутому полю, теорема Нульштейна представляет собой важное и глубокое обобщение.