Введение
Функция, принимающая конечное число значений. В математической области вещественного анализа простая функция — это функция, принимающая вещественные (или комплексные) значения на подмножестве вещественной прямой, аналогичная ступенчатой функции. Простые функции достаточно "удобны" в том смысле, что их использование облегчает математические рассуждения, построение теории и доказательство теорем. Например, простые функции принимают лишь конечное число значений. Некоторые авторы также требуют измеримости простых функций; однако на практике они всегда измеримы. Базовым примером простой функции является функция взятия целой части на полуоткрытом интервале [1, 9), единственными значениями которой являются {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Более сложным примером является функция Дирихле на вещественной прямой, которая принимает значение 1, если x рационально, и 0 в противном случае. (Таким образом, термин "простая" в "простой функции" имеет специальное техническое значение, несколько отличающееся от общепринятого.) Все ступенчатые функции являются простыми. Простые функции используются на начальном этапе разработки теорий интегрирования, таких как интеграл Лебега, поскольку легко определить интеграл для простой функции и просто аппроксимировать более общие функции последовательностями простых функций.
In the mathematical field of real analysis, a simple function is a real (or complex) valued function over a subset of the real line, similar to a step function. Simple functions are sufficiently "nice" that using them makes mathematical reasoning, theory, and proof easier. For example, simple functions attain only a finite number of values. Some authors also require simple functions to be measurable; as used in practice, they invariably are. A basic example of a simple function is the floor function over the half open interval [1, 9), whose only values are {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A more advanced example is the Dirichlet function over the real line, which takes the value 1 if x is rational and 0 otherwise. (Thus the "simple" of "simple function" has a technical meaning somewhat at odds with common language.) All step functions are simple. Simple functions are used as a first stage in the development of theories of integration, such as the Lebesgue integral, because it is easy to define integration for a simple function and also it is straightforward to approximate more general functions by sequences of simple functions.
Определение
Формально, простая функция — это конечная линейная комбинация индикаторных функций измеримых множеств. Более точно, пусть (X, Σ) — измеримое пространство. Пусть A₁, …, Aₙ ∈ Σ — последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств, а a₁, …, aₙ — последовательность действительных или комплексных чисел. Простая функция — это функция вида
где 𝟙<sub>A</sub> — индикаторная функция множества A.
Свойства простых функций
Сумма, разность и произведение двух простых функций снова являются простыми функциями, а умножение на константу оставляет простую функцию простой; следовательно, множество всех простых функций на заданном измеримом пространстве образует коммутативную алгебру над ℝ.