Кіріспе
Шекті мәнге ие болатын функция. Нақты талдаудың математикалық саласында қарапайым функция — нақты сызықтың ішкі жиынындағы нақты (немесе кешенді) мәнді функция, қадамдық функцияға ұқсас. Қарапайым функциялар математикалық ойлауды, теорияны және дәлелдеуді жеңілдететіндей жеткілікті "жақсы" қасиеттерге ие. Мысалы, қарапайым функциялар тек шекті сандағы мәндерді қабылдайды. Кейбір авторлар қарапайым функциялардың өлшенетін болуын талап етеді; бірақ практикада олар осылай болады. Қарапайым функцияның қарапайым мысалы — жартылай ашық аралықтағы [1, 9) төменгі функциясы, оның жалғыз мәндері {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} жиынынан құралған. Күрделірек мысал — нақты түзудегі Дирихле функциясы, егер x рационал сан болса, 1 мәнін қабылдайды, әйтпесе 0 мәнін қабылдайды. (Осылайша, "қарапайым функция" терминіндегі "қарапайым" сөзінің мағынасы күнделікті тілдегі мағынасына сәйкес келмейді.) Барлық қадамдық функциялар қарапайым функциялар болып табылады. Қарапайым функциялар интеграция теориясын, мысалы Лебег интегралын дамытудың алғашқы кезеңі ретінде қолданылады, себебі қарапайым функция үшін интегралды анықтау оңай, сонымен қатар жалпы функцияларды қарапайым функциялардың тізбегі арқылы жуықтау да оңай.
In the mathematical field of real analysis, a simple function is a real (or complex) valued function over a subset of the real line, similar to a step function. Simple functions are sufficiently "nice" that using them makes mathematical reasoning, theory, and proof easier. For example, simple functions attain only a finite number of values. Some authors also require simple functions to be measurable; as used in practice, they invariably are. A basic example of a simple function is the floor function over the half open interval [1, 9), whose only values are {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A more advanced example is the Dirichlet function over the real line, which takes the value 1 if x is rational and 0 otherwise. (Thus the "simple" of "simple function" has a technical meaning somewhat at odds with common language.) All step functions are simple. Simple functions are used as a first stage in the development of theories of integration, such as the Lebesgue integral, because it is easy to define integration for a simple function and also it is straightforward to approximate more general functions by sequences of simple functions.
Анықтама
Формальды түрде, қарапайым функция – өлшенетін жиындардың индикаторлық функцияларының шекті сызықтық комбинациясы. Дәлірек айтқанда, (X, Σ) өлшенетін кеңістік болсын. A₁, …, Aₙ ∈ Σ – бір-біріне жатпайтын өлшенетін жиындардың тізбегі, ал a₁, …, aₙ – нақты немесе кешенді сандардың тізбегі болсын. Қарапайым функция – мына түрдегі функция:
where is the indicator function of the set A.
∑ᵢ aᵢ * 𝟙<sub>Aᵢ</sub>
where is the indicator function of the set A.
мұнда 𝟙<sub>A</sub> – A жиынының индикаторлық функциясы.
where is the indicator function of the set A.
Қарапайым функциялардың қасиеттері
Екі қарапайым функцияның қосындысы, айырымы және көбейтіндісі де қарапайым функция болады, тұрақтыға көбейту қарапайым функцияны қарапайым күйінде қалдырады; демек, берілген өлшенетін кеңістіктегі барлық қарапайым функциялар жиыны коммутативтік алгебра құрайды.