Введение
В математике теорема Римана о перестановках, также называемая теоремой о перестановках Римана, названная в честь немецкого математика XIX века Бернарда Римана, утверждает, что если бесконечный ряд действительных чисел условно сходится, то его члены можно расположить в любой перестановке так, чтобы новый ряд сходился к произвольному действительному числу или расходился. Это означает, что ряд действительных чисел абсолютно сходится тогда и только тогда, когда он безусловно сходится. Например, ряд 1 − 1 + 1/2 − 1/2 + 1/3 − 1/3 + ⋯ сходится к 0 (при достаточно большом количестве членов частичная сумма становится сколь угодно близкой к 0); но замена всех членов на их абсолютные значения дает 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ⋯, который суммируется к бесконечности. Таким образом, исходный ряд условно сходится и может быть переставлен (взяв первые два положительных члена, за которыми следует первый отрицательный член, затем следующие два положительных члена и следующий отрицательный член и т. д.) так, чтобы получить ряд, сходящийся к другой сумме: 1 + 1/2 − 1 + 1/3 + 1/4 − 1/2 + ⋯ = ln 2. В более общем случае, используя эту процедуру с p положительными членами, за которыми следуют q отрицательных, можно получить сумму ln(p/q). Другие перестановки дают другие конечные суммы или не сходятся ни к какой сумме.
In mathematics, the Riemann series theorem, also called the Riemann rearrangement theorem, named after 19th century German mathematician Bernhard Riemann, says that if an infinite series of real numbers is conditionally convergent, then its terms can be arranged in a permutation so that the new series converges to an arbitrary real number, or diverges. This implies that a series of real numbers is absolutely convergent if and only if it is unconditionally convergent. As an example, the series 1 − 1 + 1/2 − 1/2 + 1/3 − 1/3 + ⋯ converges to 0 (for a sufficiently large number of terms, the partial sum gets arbitrarily near to 0); but replacing all terms with their absolute values gives 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ⋯, which sums to infinity. Thus the original series is conditionally convergent, and can be rearranged (by taking the first two positive terms followed by the first negative term, followed by the next two positive terms and then the next negative term, etc.) to give a series that converges to a different sum: 1 + 1/2 − 1 + 1/3 + 1/4 − 1/2 + ⋯ = ln 2. More generally, using this procedure with p positives followed by q negatives gives the sum ln(p/q). Other rearrangements give other finite sums or do not converge to any sum.
История
Это базовый результат, что сумма конечного числа слагаемых не зависит от порядка их сложения. Например, наблюдение о том, что сумма бесконечной последовательности чисел может зависеть от порядка слагаемых, обычно приписывается Огюстену Луи Коши в 1833 году. Он проанализировал чередующийся гармонический ряд, показав, что определенные перестановки его слагаемых приводят к различным пределам. Примерно в то же время Петер Густав Лежен Дирихле отметил, что подобные явления исключены в случае абсолютной сходимости, и привел дополнительные примеры феномена Коши для других рядов, не являющихся абсолютно сходящимися. В ходе анализа рядов Фурье и теории интеграла Римана, Бернхард Риман дал полную характеристику явлений, связанных с перестановками. Он доказал, что для сходящегося ряда, который не сходится абсолютно (известного как условная сходимость), можно найти перестановки, такие что новый ряд сходится к любому произвольно заданному действительному числу. Теорема Римана сейчас считается фундаментальной частью математического анализа. Для любого ряда можно рассмотреть множество всех возможных сумм, соответствующих всем возможным перестановкам слагаемых. Теорему Римана можно сформулировать так: для ряда действительных чисел это множество либо пусто, либо состоит из одной точки (в случае абсолютной сходимости), либо представляет собой всю вещественную прямую (в случае условной сходимости). В этой формулировке теорема Римана была обобщена Полем Леви и Эрнстом Штайницем на ряды, слагаемые которых являются комплексными числами или, в более общем случае, элементами конечномерного вещественного векторного пространства. Они доказали, что множество возможных сумм образует вещественное аффинное подпространство. Обобщения теоремы Леви — Штайница на ряды в бесконечномерных пространствах рассматривались многими авторами.
Теорема Серпинского
При наличии бесконечного ряда , мы можем рассмотреть множество "фиксированных точек" и изучить действительные числа, к которым может сходиться ряд при перестановке индексов в . Обозначим это так:
С этой нотацией имеем: Если конечно, то здесь обозначается симметричная разность. Если , то . Если ряд абсолютно сходится, то для любого . Если ряд условно сходится, то по теореме Римана о рядах, Серпинский доказал, что, переставляя только положительные члены, можно получить ряд, сходящийся к любому заданному значению, меньше или равному сумме исходного ряда, но больших значений в общем случае нельзя достичь. То есть, пусть будет условно сходящимся рядом, тогда содержит , но нет гарантии, что он содержит какое-либо другое число. В более общем случае, пусть будет идеалом в , тогда мы можем определить .
Sierpiński proved that rearranging only the positive terms one can obtain a series converging to any prescribed value less than or equal to the sum of the original series, but larger values in general can not be attained. That is, let be a conditionally convergent sum, then contains , but there is no guarantee that it contains any other number. More generally, let be an ideal of , then we can define
Пусть будет множеством всех множеств с асимптотической плотностью, равной нулю, то есть . Очевидно, что является идеалом в .
Эскиз доказательства: Для заданного , условно сходящегося ряда, построим такие и , что и оба условно сходящиеся. Тогда перестановки достаточно для сходимости к любому числу в . Филипов и Сюка доказали, что другие идеалы также обладают этим свойством.
Filipów and Szuca proved that other ideals also have this property.