Введение

Тип сингулярного анализа
В математическом анализе, точнее в микролокальном анализе, фронт волны (множество) WF(f) характеризует сингулярности обобщенной функции f не только в пространстве, но и относительно ее преобразования Фурье в каждой точке. Термин "волновой фронт" был введен Ларсом Хёрмандером около 1970 года.

Введение

В более понятных терминах, WF(f) указывает не только на то, где функция f имеет особенности (что уже описывается её сингулярной поддержкой), но и на то, как или почему она имеет особенности, более точно определяя направление, в котором возникает сингулярность. Эта концепция наиболее полезна в размерности не менее двух, поскольку в одном измерении существует только два возможных направления. Дополнительным понятием является микролокальная гладкость – отсутствие особенностей функции в заданном направлении. Интуитивно, в качестве примера, рассмотрим функцию ƒ, сингулярная поддержка которой сосредоточена на гладкой кривой на плоскости, где функция имеет разрыв. В направлении, касательном к кривой, функция остаётся гладкой. Напротив, в направлении, нормальном к кривой, функция имеет особенность. Чтобы определить, является ли функция гладкой в другом направлении v, можно попытаться сгладить функцию, усредняя по направлениям, перпендикулярным v. Если полученная функция гладкая, то мы считаем ƒ гладкой в направлении v. В противном случае, v принадлежит волновому фронту. Формально, в евклидовом пространстве, волновой фронт ƒ определяется как дополнение множества всех пар (x₀, v) таких, что существует тестовая функция φ с φ(x₀) ≠ 0 и открытый конус Γ, содержащий v, для которых выполняется оценка

для всех положительных целых чисел N. Здесь обозначает преобразование Фурье. Обратите внимание, что волновой фронт коничен в том смысле, что если (x, v) ∈ Wf(ƒ), то (x, λv) ∈ Wf(ƒ) для всех λ > 0. В примере, обсуждаемом в предыдущем абзаце, волновой фронт является теоретическим дополнением образа касательного пучка кривой внутри касательного пучка плоскости. Поскольку определение включает отсечение компактно поддерживаемой функцией, понятие волнового фронта можно перенести на любое дифференцируемое многообразие X. В этой более общей ситуации волновой фронт является замкнутым коническим подмножеством кокасательного пучка T*(X), поскольку переменная ξ естественным образом локализуется в ковекторе, а не в векторе. Волновой фронт определяется таким образом, что его проекция на X равна сингулярной поддержке функции.

Пример

Если мы возьмем G = D′ – пространство обобщенных функций (распределений) Шварца и хотим охарактеризовать распределения, которые локально являются функциями, то для O(Ω) необходимо использовать классические функциональные пространства, известные в литературе как O′M(Ω). Тогда проекция на первую компоненту волнового фронта распределения является ни чем иным, как его классической сингулярной носитель, то есть дополнение множества, на котором его ограничение было бы гладкой функцией.

Приложения

Набор фронтов волн полезен, в частности, при изучении распространения особенностей с помощью псевдодифференциальных операторов.