Введение

Соответствие между подполями и подгруппами
В математике фундаментальная теорема теории Галуа — это результат, описывающий структуру определенных типов расширений поля по отношению к группам. Она была доказана Эваристом Галуа при разработке теории Галуа. В своей наиболее общей форме теорема утверждает, что для конечного и галуасова расширения поля E/F существует взаимно однозначное соответствие между его промежуточными полями и подгруппами его группы Галуа. (Промежуточные поля — это поля K, удовлетворяющие условию F ⊆ K ⊆ E; их также называют подрасширениями E/F.)

Явное описание переписки

Для конечных расширений соответствие можно описать явно следующим образом. Для любой подгруппы H группы Gal(E/F), соответствующее фиксированное поле, обозначаемое EH, является множеством тех элементов E, которые остаются неизменными при любом автоморфизме из H. Для любого промежуточного поля K поля E/F, соответствующей подгруппой является Aut(E/K), то есть множество тех автоморфизмов из Gal(E/F), которые оставляют неизменными все элементы K.

Фундаментальная теорема утверждает, что это соответствие является взаимно однозначным, если и только если E/F является расширением Галуа. Например, поле E соответствует тривиальной подгруппе Gal(E/F), а базовое поле F соответствует всей группе Gal(E/F). Обозначение Gal(E/F) используется только для расширений Галуа. Если E/F является расширением Галуа, то Gal(E/F) = Aut(E/F). Если E/F не является расширением Галуа, то "соответствие" дает только инъективное (но не сюръективное) отображение из в , и сюръективное (но не инъективное) отображение в обратном направлении. В частности, если E/F не является расширением Галуа, то F не является фиксированным полем какой-либо подгруппы Aut(E/F).

Свойства корреспонденции

Соответствие обладает следующими полезными свойствами. Оно обращает включения. Включение подгрупп H1 ⊆ H2 выполняется тогда и только тогда, когда выполняется включение полей EH1 ⊇ EH2. Степени расширений связаны с порядками групп, что согласуется со свойством обращения включений. В частности, если H является подгруппой Gal(E/F), то |H| = [E:EH] и |Gal(E/F)|/|H| = [EH:F]. Поле EH является нормальным расширением F (или, что эквивалентно, расширением Галуа, поскольку любое подрасширение сепарабельного расширения является сепарабельным) тогда и только тогда, когда H является нормальной подгруппой Gal(E/F). В этом случае ограничение элементов Gal(E/F) на EH индуцирует изоморфизм между Gal(EH/F) и факторгруппой Gal(E/F)/H.

Приложения

Теорема классифицирует промежуточные поля расширения E/F с точки зрения теории групп. Этот переход между промежуточными полями и подгруппами является ключевым для доказательства неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах (см. теорему Абеля — Руффини). Сначала определяют группы Галуа радикальных расширений (расширений вида F(α), где α — n-й корень некоторого элемента из F), а затем используют фундаментальную теорему, чтобы показать, что разрешимым расширениям соответствуют разрешимые группы. Теории, такие как теория Куммера и теория полей классов, базируются на фундаментальной теореме.