Введение

Потенциальный контрпример к обобщенной гипотезе Римана
В математике, в частности в области аналитической теории чисел, нуль Ландау — Зигеля или просто нуль Зигеля (также известный как исключительный нуль), названный в честь Эдмунда Ландау и Карла Людвига Зигеля, представляет собой тип потенциального контрпримера к обобщенной гипотезе Римана относительно нулей L-функций Дирихле, связанных с квадратичными числовыми полями. Говоря упрощенно, это возможные нули, находящиеся очень близко (в количественном смысле) к 1/2.

Мотивация и определение

Способ, которым нули Зигеля проявляются в теории L-функций Дирихле, представляет собой потенциальные исключения из классических областей, свободных от нулей, которые могут возникать только в случае, когда L-функция связана с вещественным характером Дирихле.

Определение "зировых знаков"

Определение нулей Зигеля, как оно представлено, связывает их с константой А в области, свободной от нулей. Это часто усложняет работу с этими объектами, поскольку во многих случаях конкретное значение константы А не имеет существенного значения.

"Нет нулей Siegel" для D < 0

При работе с квадратными полями случай часто оказывается трудноуловимым из-за поведения фундаментальной единицы. Поэтому случаи и обычно рассматриваются отдельно. О случае с отрицательным дискриминантом известно гораздо больше:

Последствия существующих нулей Сигеля

Хотя ожидается, что обобщённая гипотеза Римана верна, поскольку гипотеза об отсутствии нулей Сигеля остаётся не доказанной, интересно изучить, к каким последствиям привели бы столь серьёзные опровержения обобщённой гипотезы Римана. Другая причина для изучения этой возможности заключается в том, что доказательство некоторых безусловных теорем требует рассмотрения двух случаев: сначала доказательство, предполагающее отсутствие нулей Сигеля, а затем – доказательство, предполагающее их существование. Классическим примером такой теоремы является теорема Линника о наименьшем простом числе в арифметической прогрессии. Ниже приведены некоторые примеры следствий, вытекающих из существования нулей Сигеля.

Проблема паритета

Проблема паритета в теории сит, по сути, заключается в том, что аргументы, используемые в сите, как правило, не позволяют определить, имеет ли целое число четное или нечетное количество простых делителей. Это приводит к тому, что многие верхние оценки в ситовых оценках, например, полученные с помощью линейного сита, отличаются от ожидаемого значения в два раза. В 2020 году Гранвилл показал, что при условии существования нулей Зигеля общие верхние границы для задачи просеивания интервалов являются оптимальными, то есть дополнительный фактор 2, возникающий из-за явления паритета, не является искусственным ограничением метода.