Темы

Теория чисел

Number Theory · 85 статей

  1. Уникальность разложения на простые множители

    Уникальность разложения на простые множители: основная теорема арифметики. Разложение целых чисел >1 на простые числа всегда единственно (с точностью до порядка).

    #2747 · 5 мин чтения

  2. Мультипликативные и рациональные арифметические функции

    Мультипликативные функции в теории чисел: определение, свойства и виды (полностью мультипликативные, рациональные). Dirichlet series и totient функции.

    #4850 · 1 мин чтения

  3. p-адические числа: расширение рациональных чисел

    p-адические числа: расширение рациональных чисел в теории чисел. Определение, свойства, представление в виде бесконечных "десятичных" дробей по простому числу p.

    #12017 · 9 мин чтения

  4. Локальные поля: определение и свойства

    Локальное поле в математике: определение, свойства, типы (архимедовы и неархимедовы). Полное поле с дискретной оценкой и конечным полем вычетов.

    #46130 · 3 мин чтения

  5. Мера нарушения однозначной факторизации в теории чисел.

    Группа классов в теории чисел: мера нарушения однозначной факторизации в кольце целых чисел. Изучение идеалов, доменов Дедекинда и квадратичных форм.

    #47628 · 7 мин чтения

  6. Обобщённая гипотеза Римана и нули L-функций

    Гипотеза Римана и обобщения для L-функций: важное математическое предположение о нулях функций, связывающее геометрию и арифметику. Исследования в математике.

    #48142 · 2 мин чтения

  7. Кривые рода больше 1 над рациональными числами: конечность рациональных точек.

    Теорема Фальтинга: кривые рода >1 над рациональными числами имеют конечное число рациональных точек. Доказательство гипотезы Морделла (1983).

    #52385 · 2 мин чтения

  8. Рациональные эллиптические кривые и модулярные формы

    Модулярность эллиптических кривых: связь с модулярными формами, теорема Модулярности (ранее гипотеза Таниямы-Шимуры), доказательство Ферма.

    #52913 · 3 мин чтения

  9. Алгебраическая теория чисел и диофантовы уравнения

    Алгебраическая теория чисел: изучение целых чисел, рациональных чисел и обобщений с помощью абстрактной алгебры. Решение диофантовых уравнений.

    #52958 · 14 мин чтения

  10. Теория полей классов: основные понятия и обобщения

    Теория полей классов – раздел алгебраической теории чисел, изучающий абелевы расширения полей. Описывает связь между группами идеалов и расширениями Галуа.

    #65982 · 8 мин чтения

  11. Генераторные функции и подсчет точек на алгебраических многообразиях над конечными полями.

    Генераторные функции и алгебраические многообразия над конечными полями: обзор гипотез Вейля, рациональность дзета-функций и свойства нулей.

    #66282 · 9 мин чтения

  12. Джон Тейт: Жизнь и вклад в алгебраическую теорию чисел

    Джон Тейт (1925-2019) – американский математик, лауреат премии Абеля за вклад в алгебраическую теорию чисел и арифметическую геометрию. Биография.

    #66479 · 4 мин чтения

  13. Обобщения закона квадратичной взаимности в математике

    Законы взаимности в математике: обобщение квадратичной взаимности для полиномов. Определение, когда полином разлагается на множители по модулю простых чисел.

    #66751 · 2 мин чтения

  14. Кольцо аделей: центральный объект теории полей классов

    Адель-кольцо: ключевой объект теории полей классов в алгебраической теории чисел. Определение, свойства и связь с иделями. Математические понятия.

    #66815 · 9 мин чтения

  15. Геометрия чисел: от решеток до функционального анализа

    Геометрия чисел: раздел теории чисел, использующий геометрию для изучения алгебраических чисел и решеток. Связь с анализом и диофантовыми приближениями.

    #67194 · 1 мин чтения

  16. Глобальные поля: алгебраические числовые и функциональные поля.

    Глобальные поля в математике: алгебраические числовые и функциональные поля. Характеризуются с помощью валораций, имеют локально компактные завершения.

    #72813 · 2 мин чтения

  17. p-адический анализ: теория и приложения

    p-адический анализ: раздел теории чисел, изучающий функции p-адических чисел. Применение в диофантовой геометрии и приближении чисел. Математический анализ.

    #73168 · 2 мин чтения

  18. Локальный анализ в математике: от простых чисел к глобальной картине

    Локальный анализ в математике: изучение задач по модулю простых чисел p для алгебраической геометрии, теории групп и теории чисел. Классификация групп.

    #76945 · 1 мин чтения

  19. Фердинанд Георг Фробениус: Жизнь и вклад в математику

    Фердинанд Георг Фробениус: вклад в математику (эллиптические функции, теория чисел, диффуравнения, группы). Теоремы, аппроксимации Паде, многообразия Фробениуса.

    #82103 · 2 мин чтения

  20. Оценки и расширения полей: теория и приложения.

    Оценка в алгебре: функция, измеряющая "размер" элементов поля. Обобщает понятия из алгебр. геометрии, теории чисел и комплексного анализа. Валидированные поля.

    #83107 · 3 мин чтения

  21. Алгебраическая независимость экспонент алгебраических чисел

    Алгебраическая независимость экспонент: теорема Линдемана-Вейерштрасса доказывает трансцендентность чисел, обобщается гипотезой Шанюэля. Теория чисел.

    #83385 · 5 мин чтения

  22. Арифметика абелевых многообразий

    Арифметическая геометрия абелевых многообразий: теория чисел, диофантовы приближения, целочисленные точки. Исследования Ферма и теорема Зигеля.

    #89098 · 4 мин чтения

  23. Квадратичные мнимые числовые поля с единственной факторизацией

    Квадратичные мнимые числовые поля с единственной факторизацией: теорема Хигнера, области главных идеалов, решение проблемы Гаусса о числе классов.

    #90150 · 3 мин чтения

  24. Ивасавская теория: изучение арифметических объектов в бесконечных башнях числовых полей.

    Ивасава теория: изучение арифметических объектов в бесконечных башнях числовых полей. История, обобщения на абелевы многообразия и мотивы.

    #90949 · 2 мин чтения

  25. Обобщение преобразований Мёбиуса на кольца

    Преобразования Мёбиуса: обобщение на кольца, не только комплексные числа. Линейные дробные преобразования, поля, проективная линия и их свойства.

    #91896 · 4 мин чтения

  26. Квадратичные поля в алгебраической теории чисел

    Квадратичные поля в алгебраической теории чисел: определение, типы (действительные и мнимые), связь с квадратными формами и нерешенная проблема классов.

    #101375 · 3 мин чтения

  27. Гауссовы периоды и суммы Гаусса в теории чисел

    Гауссовы периоды в теории чисел: суммы корней из единицы для вычислений в циклотомических полях и преобразовании Фурье. Основа циклотомии.

    #101609 · 2 мин чтения

  28. Галуа-модули и представления в теории чисел

    Галуа модули: определение, применение в теории чисел и когомологии групп. Связь с расширениями полей и группой Брауэра. Математика, алгебра.

    #106447 · 4 мин чтения

  29. Принцип Хассе и решение целочисленных уравнений

    Принцип Хассе: решение целочисленных уравнений через остатки по модулям простых чисел. Локально-глобальный принцип и p-адические числа в математике.

    #106896 · 3 мин чтения

  30. Идеальные числа и развитие теории идеалов в алгебраической теории чисел.

    Идеальные числа в теории чисел: определение, связь с идеалами в кольцах целых чисел, теорема о главных идеалах и работы Куммера и Дедекинда.

    #111834 · 3 мин чтения

  31. Теорема Чеботарёва о распределении простых чисел в расширениях Галуа

    Теорема Чеботарёва в алгебраической теории чисел описывает статистическое распределение простых чисел в расширениях Галуа. Плотность расщепления простых чисел, группа Галуа.

    #113473 · 4 мин чтения

  32. Теория эллиптических кривых и комплексное умножение.

    Комплексное умножение эллиптических кривых: теория, эндоморфизмы, особые функции и связь с алгебраической теорией чисел. Красивая область математики!

    #113694 · 3 мин чтения

  33. Гипотеза Сато — Тате об эллиптических кривых

    Гипотеза Сато-Тейта об эллиптических кривых: статистическое распределение числа точек на кривых при модульном сокращении. Доказана в 2008-2011 гг.

    #121810 · 2 мин чтения

  34. Алгебраическая K-теория: Обзор и История

    Алгебраическая K-теория: раздел математики, связывающий алгебру, геометрию и теорию чисел. Изучает K-группы, сложные в вычислениях, но информативные объекты.

    #121906 · 24 мин чтения

  35. Гипотеза Шинцеля H: Обзор и Связанные Проблемы

    Гипотеза Шинцеля H: одна из главных нерешенных проблем теории чисел. Обобщение гипотезы о близнецах. Используется в диофантовой геометрии.

    #122696 · 1 мин чтения

  36. Теорема Гельфонда — Шнайдера о трансцендентности чисел

    Теорема Гельфонда — Шнайдера: доказательство трансцендентности широкого класса чисел. Алгебраические числа, комплексные числа, трансцендентность, логарифм.

    #123471 · 2 мин чтения

  37. Локальная теория полей классов: обзор и обобщения

    Локальная теория классов полей: изучение абелевых расширений локальных полей, группа Галуа, соответствие расширений и подгрупп. Математика, алгебра.

    #132076 · 3 мин чтения

  38. Модулярные кривые и алгебраические многообразия

    Модулярные кривые: алгебраическое описание, связь с эллиптическими кривыми и теорией чисел. Определение над Q и циклотомическими полями.

    #132078 · 4 мин чтения

  39. Свойства галуасовых представлений, связанных с модулярными формами: теорема Рибе и ее следствия

    Теорема Рибе (эпсилон-предположение) в теории чисел: свойства представлений Галуа, связанных с модулярными формами. Ключ к доказательству Великой теоремы Ферма.

    #135458 · 3 мин чтения

  40. Лекции по теории чисел: От Дирихле до Ландау

    Лекции по теории чисел: учебники Дирихле, Дедекинда, Кронекера, Ландау и Хассе. Основы, теорема Дирихле, квадратичные поля и формы. История и содержание.

    #140844 · 2 мин чтения

  41. Полустабильные абелевы многообразия и полустабильное восстановление

    Полустабильные абелевы многообразия в алгебраической геометрии: определение, модель Нерона, редукция по простым числам, расширения абелевых многообразий.

    #157066 · 1 мин чтения

  42. Теорема Эрбрана — Рибе о группе классов численных полей

    Теорема Хербранда-Рибе: усиление теоремы Куммера о классовых числах. Связь между простыми числами, числами Бернулли и структурой идеальных классов. Математика.

    #178524 · 2 мин чтения

  43. Мера Малера многочлена и её приложения

    Мера Малера: определение, свойства и применение в математике. Высота полинома, алгебраических чисел, связь с числами Писо и Салема, теорема Кронекера.

    #179617 · 1 мин чтения

  44. Теорема Гильберта 90 и теория Куммера: параметризация рациональных точек на окружности.

    Теорема Гильберта 90: ключевой результат в теории Галуа и теории Куммера. Описывает связь между расширениями полей и нормой элементов. Рациональные параметризации.

    #180956 · 1 мин чтения

  45. Соответствие между конечными абелевыми расширениями и обобщенными группами классов идеалов.

    Соответствие между конечными абелевыми расширениями и обобщенными группами классов идеалов в теории полей. Теорема Такаги и модули в числовых полях.

    #180966 · 4 мин чтения

  46. Теорема Хассе о количестве точек на эллиптических кривых над конечными полями.

    Теорема Хассе об эллиптических кривых: оценка числа точек на кривой над конечным полем. Доказательство Хассе (1933), связь с гипотезой Римана.

    #181920 · 1 мин чтения

  47. Теорема Хассе — Минковского: локальная и глобальная эквивалентность квадратичных форм

    Теорема Хассе-Минковского: квадратичные формы над числовым полем эквивалентны ⇔ эквивалентны локально. Решение уравнений в рациональных числах через полные поля.

    #181966 · 2 мин чтения

  48. Галуа когомологии: история и развитие теории

    Галуа когомологии: изучение когомологий Галуа модулей, применительно к расширениям полей. Неабелева теория, важная для теории полей классов и алгебраической теории чисел.

    #182205 · 3 мин чтения

  49. Функция дзета Хассе — Вейля и связанные с ней гипотезы

    Функция Хассе — Вейля: дзета-функция алгебраических многообразий. Связь с теорией чисел, гипотезой Бирча — Свиннертон-Дайера и обобщением гипотезы Таниямы-Вейля.

    #187972 · 1 мин чтения

  50. Аделические алгебраические группы и иделы в теории чисел

    Полутопологические группы в абстрактной алгебре: определение, свойства и применение в теории чисел, представлений и арифметике квадратичных форм.

    #189239 · 3 мин чтения

  51. Число Тамагавы: определение и свойства

    Число Тамагавы в математике: определение, свойства и вычисление для полупростых алгебраических групп над глобальными полями. Адели, меры Хаара.

    #189243 · 2 мин чтения

  52. Решетки в комплексной плоскости и фундаментальные пары периодов.

    Основы комплексного анализа: фундаментальная пара периодов, определение решетки на комплексной плоскости, базис решетки, эллиптические функции.

    #233558 · 1 мин чтения

  53. Конечность порождения алгебр: проблема Гильберта и контрпримеры Нагаты

    Четырнадцатая проблема Гильберта: конечность порождения алгебр. Развенчание гипотезы Гильберта Нагатой в 1959 году. Алгебраическая инвариантная теория.

    #242638 · 3 мин чтения

  54. Двоичные квадратичные формы с целыми коэффициентами

    Двоичные квадратичные формы: определение, свойства и роль в алгебраической теории чисел. Целочисленные коэффициенты, математический анализ.

    #259358 · 6 мин чтения

  55. Потенциальный контрпример к обобщенной гипотезе Римана: нули Зигеля и их следствия.

    Нулевые точки Дирихле L-функций и гипотеза Римана: что такое нули Зигеля, их роль в аналитической теории чисел и потенциальное опровержение обобщенной гипотезы.

    #268812 · 2 мин чтения

  56. Арифметическая геометрия: применение алгебраической геометрии в теории чисел

    Арифметическая геометрия: применение методов алгебраической геометрии к задачам теории чисел. Изучение рациональных точек, схем над кольцом целых чисел.

    #269393 · 3 мин чтения

  57. Гипотеза Шанюэля о степени трансцендентности расширений полей рациональных чисел

    Гипотеза Шануэля в теории чисел: обобщение результатов о трансцендентности. Связь с теоремами Линдмана-Вейерштрасса, Гельфонда-Шнайдера и гипотезой о четырех экспонентах.

    #274706 · 2 мин чтения

  58. Абстрактная аналитическая теория чисел: обобщения и приложения.

    Абстрактная аналитическая теория чисел: применение методов к разным областям математики. Асимптотическое распределение, простые числа, семегруппы.

    #275065 · 2 мин чтения

  59. Проблема Гильберта о числовых полях и расширениях Кронекера-Вебера

    Проблема Гильберта №12: обобщение теоремы Кронекера-Вебера для полей чисел. Комплексное умножение, поля CM, круговые поля и "юношеская мечта" Кронекера.

    #286507 · 4 мин чтения

  60. Явные формулы для L-функций и связь с распределением простых чисел

    Явные формулы для L-функций: связь нулей L-функций и степеней простых чисел. Применение в теории чисел, алгебраических полях и дзета-функциях.

    #290399 · 2 мин чтения

  61. Дифференциальный идеал в теории алгебраических чисел

    Дифференциальный идеал в алгебраической теории чисел: определение, применение для измерения недуальности и кодирования данных о разветвлении идеалов.

    #305321 · 1 мин чтения

  62. Гипотеза Куммера — Вандивера: современное состояние и перспективы

    Гипотеза Куммера-Вандивера: о делимости класса чисел в циклотомических полях. Не доказана, исследуется связь с числами Бернулли и структурой полей.

    #314351 · 3 мин чтения

  63. Закон взаимности Артина: Обзор и Применения

    Закон взаимности Артина: обобщение квадратичной взаимности, решение 9-й проблемы Гильберта. Описывает расширения полей и структуру абсолютной группы Галуа.

    #324824 · 3 мин чтения

  64. Функции Артина L и гипотеза Артина: современное состояние

    Функции Артина L: определение, свойства и гипотеза Артина в теории Галуа. Связь с классовым полем и программой Лангланса. Математические исследования.

    #337189 · 2 мин чтения

  65. Теория Милнора K: алгебраический инвариант полей и его свойства.

    Теория Милнора K: алгебраический инвариант полей, упрощающий высшую алгебраическую K-теорию. Связь с когомологией Галуа, группами Чоу и мотивными пучками.

    #347802 · 2 мин чтения

  66. Поле классов Гильберта: теория и свойства.

    Поле Хильберта: расширение числового поля, важное в алгебраической теории чисел. Связь с классовым числом и группой классов идеалов. Рассмотрены свойства и примеры.

    #355580 · 3 мин чтения

  67. Формула класса чисел и дзета-функция Дедекинда

    Формула класса чисел: связь инвариантов числового поля и дзета-функции Дедекинда. Примеры на основе гауссовых целых чисел и сумм квадратов.

    #355584 · 2 мин чтения

  68. Discriminant of an algebraic number field

    #355749 · 4 мин чтения

  69. Матрица Хассе — Витта и p-ранг алгебраических кривых.

    Матрица Хассе — Витта: определение, свойства и связь с инвариантом Хассе для алгебраических кривых над конечными полями. Применение в теории якобиевых многообразий.

    #356185 · 2 мин чтения

  70. Гипотеза Вейля о числах Тамагавы в алгебраической геометрии

    Гипотеза Вейля о числах Тамагавы в алгебраической геометрии: просто связанные алгебраические группы над числовыми полями имеют число Тамагавы равное 1.

    #356785 · 1 мин чтения

  71. Модуль Тата: алгебраическая структура и представления Галуа

    Модуль Тейта: определение, свойства и применение в теории Галуа. p-адические модули Тейта, циклотомический характер и группы корней единства.

    #361150 · 1 мин чтения

  72. Гипотеза Тейта: алгебраические циклы и представления Галуа

    Гипотеза Тейта (1963) в теории чисел и алгебраической геометрии: связь алгебраических циклов на многообразиях с представлением Галуа и когомологиями.

    #363391 · 3 мин чтения

  73. Гипотеза p-кривизны Гротендика-Каца: Современное состояние и развитие

    Гипотеза изокривизны Гротендика-Каца: связь дифференциальных уравнений, теории Галуа и плотности Чеботарёва. Прогресс в решении, алгебраические фолиации.

    #364163 · 2 мин чтения

  74. Функции высоты в диофантовой геометрии и теории чисел

    Высотные функции в математике: измерение сложности объектов и решений диофантовых уравнений. Подсчет бесконечных множеств, таких как рациональные точки.

    #364609 · 3 мин чтения

  75. Тонкие множества и гильбертианские поля: обзор теории

    Тонкие множества Серра в алгебраической геометрии: определение, свойства, связь с полями Хильберта и теоремой Гильберта об ирредуктивности.

    #364742 · 1 мин чтения

  76. Характеры Хеке и L-функции Хеке

    Характеры Геке: обобщение характеров Дирихле в теории чисел. Используются для построения L-функций и изучения дзета-функций Дедекинда.

    #365199 · 4 мин чтения

  77. Теория Ивасавы — Тата и обобщения дзета-функции Хеке

    Теория Тейта: диссертация по теории чисел 1950 года. Исследование дзета-функций, продолжение аналитически, полюса и связь с работами Гекке.

    #365205 · 2 мин чтения

  78. Теорема Островского об абсолютных значениях рациональных чисел

    Теорема Островского: все нетривиальные абсолютные значения на рациональных числах эквивалентны обычному или p-адическому. Основы теории чисел.

    #379728 · 1 мин чтения

  79. Идеа́л Эйзенштейна в теории модулярных кривы́х

    Идеал Эйзенштейна в математике: описание, связь с модулярными кривыми, алгеброй Хеке и операторами Хеке. Важный объект в теории модулярных форм.

    #405692 · 1 мин чтения

  80. Модулярность эллиптических кривых и доказательство Великой теоремы Ферма

    Модулярные эллиптические кривые: связь с модулярными формами и теорема модулярности (гипотеза Таниямы-Симуры). Математика, эллиптические кривые, Weil.

    #449612 · 2 мин чтения

  81. Drinfeld module

    #497788 · 4 мин чтения

  82. Stark conjectures

    #503129 · 3 мин чтения

  83. Artin–Hasse exponential

    #506728 · 2 мин чтения

  84. Heegner point

    #511146 · 1 мин чтения

  85. Rigid analytic space

    #511159 · 3 мин чтения