Введение

Математические гипотезы о нулях L-функций

Гипотеза Римана — одна из важнейших гипотез в математике. Она представляет собой утверждение о нулях дзета-функции Римана. Различные геометрические и арифметические объекты могут быть описаны так называемыми глобальными L-функциями, которые формально аналогичны дзета-функции Римана. Тогда возникает тот же вопрос относительно нулей этих L-функций, что приводит к различным обобщениям гипотезы Римана. Многие математики полагают, что эти обобщения гипотезы Римана верны. Единственные случаи, когда эти гипотезы были доказаны, относятся к случаю алгебраических полей функций (а не полей чисел). Глобальные L-функции могут быть ассоциированы с эллиптическими кривыми, полями чисел (в этом случае они называются дзета-функциями Дедекинда), формами Маасса и символами Дирихле (в этом случае они называются L-функциями Дирихле). Когда гипотеза Римана формулируется для дзета-функций Дедекинда, она известна как расширенная гипотеза Римана (ERH), а когда она формулируется для L-функций Дирихле — как обобщенная гипотеза Римана (GRH). Эти два утверждения будут рассмотрены более подробно ниже. (Многие математики используют термин «обобщенная гипотеза Римана», чтобы охватить расширение гипотезы Римана на все глобальные L-функции, а не только на частный случай L-функций Дирихле.)

Обобщенная гипотеза Римана (GRH)

Обобщенная гипотеза Римана (для L-функций Дирихле) была, вероятно, сформулирована впервые Адольфом Пилцем в 1884 году. Как и исходная гипотеза Римана, она имеет далеко идущие последствия для распределения простых чисел. Формальная формулировка гипотезы приведена ниже. Характер Дирихле — это полностью мультипликативная арифметическая функция χ, такая, что существует положительное целое число k, для которого χ(n + k) = χ(n) для всех n и χ(n) = 0, когда НОД(n, k) > 1. Если задан такой характер, соответствующая L-функция Дирихле определяется как

для любого комплексного числа s, удовлетворяющего условию Re s > 1. Путем аналитического продолжения эта функция может быть расширена до мероморфной функции (только если χ примитивна), определенной на всей комплексной плоскости. Обобщенная гипотеза Римана утверждает, что для каждого характера Дирихле χ и каждого комплексного числа s, для которого L(χ, s) = 0, если s не является отрицательным вещественным числом, то вещественная часть s равна 1/2. Случай, когда χ(n) = 1 для всех n, приводит к обычной гипотезе Римана.