Введение
Локально компактное топологическое поле
В математике поле K называется (неархимедовым) локальным полем, если оно полно относительно топологии, индуцированной дискретной оценкой v, и его остаточное поле k конечно. Эквивалентно, локальное поле — это локально компактное топологическое поле относительно недискретной топологии. Иногда действительные числа R и комплексные числа C (с их стандартными топологиями) также определяются как локальные поля; мы будем придерживаться этого соглашения ниже. Для заданного локального поля оценка, определенная на нем, может быть одного из двух типов, каждый из которых соответствует одному из двух основных типов локальных полей: полям, в которых оценка является архимедовой, и полям, в которых она не является. В первом случае локальное поле называется архимедовым локальным полем, во втором — неархимедовым локальным полем. Локальные поля естественным образом возникают в теории чисел как завершения глобальных полей. В то время как архимедовы локальные поля были хорошо известны в математике на протяжении как минимум 250 лет, первые примеры неархимедовых локальных полей, поля p-адических чисел для простого целого числа p, были введены Куртом Хенселем в конце XIX века. Каждое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих:
In mathematics, a field K is called a (non Archimedean) local field if it is complete with respect to a topology induced by a discrete valuation v and if its residue field k is finite. Equivalently, a local field is a locally compact topological field with respect to a non discrete topology. Sometimes, the real numbers R, and the complex numbers C (with their standard topologies) are also defined to be local fields; this is the convention we will adopt below. Given a local field, the valuation defined on it can be of either of two types, each one corresponds to one of the two basic types of local fields: those in which the valuation is Archimedean and those in which it is not. In the first case, one calls the local field an Archimedean local field, in the second case, one calls it a non Archimedean local field. Local fields arise naturally in number theory as completions of global fields. While Archimedean local fields have been quite well known in mathematics for at least 250 years, the first examples of non Archimedean local fields, the fields of p adic numbers for positive prime integer p, were introduced by Kurt Hensel at the end of the 19th century. Every local field is isomorphic (as a topological field) to one of the following:
Архимедовы локальные поля (характеристика ноль): действительные числа R и комплексные числа C.
Неархимедовы локальные поля характеристики ноль: конечные расширения p-адических чисел Qp (где p — любое простое число).
Неархимедовы локальные поля характеристики p (для любого простого числа p): поле формальных рядов Лорана Fq((T)) над конечным полем Fq, где q является степенью p.
Non Archimedean local fields of characteristic zero: finite extensions of the p adic numbers Qp (where p is any prime number). Non Archimedean local fields of characteristic p (for p any given prime number): the field of formal Laurent series Fq((T)) over a finite field Fq, where q is a power of p.
В частности, важными для теории чисел являются классы локальных полей, которые возникают как завершения алгебраических числовых полей относительно их дискретной оценки, соответствующей одному из их максимальных идеалов. Современные исследования в теории чисел часто рассматривают более общее понятие, требующее лишь того, чтобы поле остатков было совершенным положительной характеристики, необязательно конечной. В данной статье используется первое определение.
Примеры
П-адические числа: кольцо целых чисел Qp – это кольцо п-адических целых чисел Zp. Его главный идеал – pZp, а его поле вычетов – Z/pZ. Каждый ненулевой элемент Qp можно представить в виде u pⁿ, где u – единица в Zp, а n – целое число, тогда v(u pⁿ) = n для нормализованной валентности. Формальные ряды Лорана над конечным полем: кольцо целых чисел Fq((T)) – это кольцо формальных степенных рядов Fq[[T]]. Его максимальный идеал равен (T) (то есть, ряды степеней, у которых постоянный член равен нулю), а его поле вычетов равно Fq. Его нормализованная валентность связана с (минимальной) степенью формального ряда Лорана следующим образом: (где a₋m не равно нулю). Формальные ряды Лорана над комплексными числами не являются локальным полем. Например, его поле вычетов C[[T]]/(T) = C, которое не является конечным.
(where a−m is non zero). The formal Laurent series over the complex numbers is not a local field. For example, its residue field is C[[T]]/(T) = C, which is not finite.
Теория локальных полей
Эта теория включает в себя изучение типов локальных полей, расширений локальных полей с использованием леммы Хенселя, расширений Галуа локальных полей, фильтраций групп ветвления групп Галуа локальных полей, поведения нормы на локальных полях, локального гомоморфизма взаимности и теоремы существования в теории локальных классов полей, локальной корреспонденции Лэнгленда, теории Ходжа — Тейта (также называемой p-адической теорией Ходжа), явных формул для символа Гильберта в теории локальных классов полей, см., например.
Высокомерные локальные поля
Локальное поле иногда называют одномерным локальным полем. Неархимедово локальное поле можно рассматривать как поле частных завершения локального кольца одномерной арифметической схемы ранга 1 в её несингулярной точке. Для неотрицательного целого числа n, n-мерное локальное поле — это полное поле дискретной оценки, остаточным полем которого является (n − 1)-мерное локальное поле. В зависимости от определения локального поля, нулевое локальное поле является либо конечным полем (в соответствии с определением, используемым в данной статье), либо совершенным полем положительной характеристики. С геометрической точки зрения, n-мерные локальные поля с конечным остаточным полем естественным образом связаны с полным флагом подсхем n-мерной арифметической схемы.