Введение
В комплексном анализе отображение Шварца — Кристоффеля — это конформное отображение верхней полуплоскости или единичного диска на внутренность простого многоугольника. Существование такого отображения гарантируется теоремой Римана о отображениях (сформулированной Бернардом Риманом в 1851 году); формула Шварца — Кристоффеля предоставляет явное построение. Оно было независимо введено Эльвином Кристоффелем в 1867 году и Германом Шварцем в 1869 году. Отображения Шварца — Кристоффеля используются в теории потенциала и некоторых её приложениях, включая минимальные поверхности, гиперболическую геометрию и гидродинамику.
Определение
Рассмотрим многоугольник в комплексной плоскости. Теорема Римана об отображениях подразумевает, что существует биголоморфное отображение f из верхней полуплоскости во внутреннюю область многоугольника. Функция f отображает вещественную ось на стороны многоугольника. Если внутренние углы многоугольника равны , то это отображение задается формулой
to the interior of the polygon. The function f maps the real axis to the edges of the polygon. If the polygon has interior angles , then this mapping is given by
where is a constant, and are the values, along the real axis of the plane, of points corresponding to the vertices of the polygon in the plane. A transformation of this form is called a Schwarz–Christoffel mapping. The integral can be simplified by mapping the point at infinity of the plane to one of the vertices of the plane polygon. By doing this, the first factor in the formula becomes constant and so can be absorbed into the constant Conventionally, the point at infinity would be mapped to the vertex with angle
In practice, to find a mapping to a specific polygon one needs to find the values which generate the correct polygon side lengths. This requires solving a set of nonlinear equations, and in most cases can only be done numerically.
где – константа, а – значения вдоль вещественной оси плоскости, соответствующие вершинам многоугольника в плоскости. Преобразование такого вида называется преобразованием Шварца-Кристоффеля. Интеграл можно упростить, отобразив точку в бесконечности плоскости в одну из вершин многоугольника в плоскости. При этом первый множитель в формуле становится постоянным и может быть включен в константу. Обычно точку в бесконечности отображают в вершину с углом . На практике, для нахождения отображения на конкретный многоугольник необходимо определить значения , которые задают правильные длины сторон многоугольника. Это требует решения системы нелинейных уравнений, и в большинстве случаев возможно только численно.
to the interior of the polygon. The function f maps the real axis to the edges of the polygon. If the polygon has interior angles , then this mapping is given by
where is a constant, and are the values, along the real axis of the plane, of points corresponding to the vertices of the polygon in the plane. A transformation of this form is called a Schwarz–Christoffel mapping. The integral can be simplified by mapping the point at infinity of the plane to one of the vertices of the plane polygon. By doing this, the first factor in the formula becomes constant and so can be absorbed into the constant Conventionally, the point at infinity would be mapped to the vertex with angle
In practice, to find a mapping to a specific polygon one needs to find the values which generate the correct polygon side lengths. This requires solving a set of nonlinear equations, and in most cases can only be done numerically.
Общий треугольник
Верхняя полуплоскость отображается на треугольник, стороны которого являются круговыми дугами, посредством преобразования Шварца.