Кіріспе
Күрделі талдауда, Шварц-Кристоффель бейнелеуі – жоғарғы жарты жазықтықты немесе күрделі бірлік дискісін қарапайым көпбұрыштың ішкі жағына конформды түрлендіретін бейнелеу. Мұндай бейнелеудің болуы Риманның бейнелеу теоремасымен (1851 жылы Бернхард Риман дәлелдеген) қамтамасыз етіледі; Шварц-Кристоффель формуласы нақты құрастыруды ұсынады. Оны 1867 жылы Эльвин Кристоффель және 1869 жылы Герман Шварц тәуелсіз түрде енгізген. Шварц-Кристоффель бейнелеулері потенциал теориясында және оның кейбір қолданыстарында, оның ішінде ең төменгі беттерде, гиперболалық өнерде және сұйықтық динамикасында қолданылады.
Анықтама
Комплекстік жазықтықтағы көпбұрышты қарастырайық. Риманнің бейнелеу теоремасы жоғарғы жарты жазықтықтан көпбұрыштың ішкі бөлігіне бихоломорфты бейнелеу f бар екенін көрсетеді. f функциясы нақты осьті көпбұрыштың қабырғаларына бейнелейді. Егер көпбұрыштың ішкі бұрыштары болса, онда бұл бейнелеу мына түрде беріледі:
to the interior of the polygon. The function f maps the real axis to the edges of the polygon. If the polygon has interior angles , then this mapping is given by
where is a constant, and are the values, along the real axis of the plane, of points corresponding to the vertices of the polygon in the plane. A transformation of this form is called a Schwarz–Christoffel mapping. The integral can be simplified by mapping the point at infinity of the plane to one of the vertices of the plane polygon. By doing this, the first factor in the formula becomes constant and so can be absorbed into the constant Conventionally, the point at infinity would be mapped to the vertex with angle
In practice, to find a mapping to a specific polygon one needs to find the values which generate the correct polygon side lengths. This requires solving a set of nonlinear equations, and in most cases can only be done numerically.
мұндағы – тұрақты шама, ал – жазықтықтың нақты осьі бойындағы, жазықтықтағы көпбұрыштың төбелеріне сәйкес келетін нүктелердің мәндері. Осы түрдегі түрлену Шварц-Кристофель бейнелеуі деп аталады. Интегралды жазықтықтың шексіз нүктесін жазықтықтағы көпбұрыштың бір төбесіне бейнелеу арқылы жеңілдетуге болады. Осылайша, формуланың бірінші көбейткіші тұрақты болады және тұрақтыға қосылады. Дәстүр бойынша, шексіз нүкте бұрышы бар төбеге бейнеленеді. Іс жүзінде, нақты бір көпбұрышқа бейнелеу табу үшін көпбұрыштың қабырғаларының дұрыс ұзындығын қамтамасыз ететін мәндерді табу қажет. Бұл сызықты емес теңдеулер жиынтығын шешуді талап етеді және көп жағдайда оны сандық әдіспен ғана жасауға болады.
to the interior of the polygon. The function f maps the real axis to the edges of the polygon. If the polygon has interior angles , then this mapping is given by
where is a constant, and are the values, along the real axis of the plane, of points corresponding to the vertices of the polygon in the plane. A transformation of this form is called a Schwarz–Christoffel mapping. The integral can be simplified by mapping the point at infinity of the plane to one of the vertices of the plane polygon. By doing this, the first factor in the formula becomes constant and so can be absorbed into the constant Conventionally, the point at infinity would be mapped to the vertex with angle
In practice, to find a mapping to a specific polygon one needs to find the values which generate the correct polygon side lengths. This requires solving a set of nonlinear equations, and in most cases can only be done numerically.
Жалпы үшбұрыш
Жоғарғы жарты жазықтық Шварц үшбұрышының бейнелеуі арқылы дөңгелек доғалармен жиектелген үшбұрышқа бейнеленеді.