Введение
Симметрии пространства-времени – это характеристики пространства-времени, которые можно описать как демонстрирующие ту или иную форму симметрии. Роль симметрии в физике важна для упрощения решений многих задач. Симметрии пространства-времени используются при изучении точных решений уравнений Эйнштейна общей теории относительности. Симметрии пространства-времени отличаются от внутренних симметрий.
Spacetime symmetries are features of spacetime that can be described as exhibiting some form of symmetry. The role of symmetry in physics is important in simplifying solutions to many problems. Spacetime symmetries are used in the study of exact solutions of Einstein's field equations of general relativity. Spacetime symmetries are distinguished from internal symmetries.
Симметрия материи
Менее известная форма симметрии связана с векторными полями, сохраняющими тензор энергии-импульса. Они также известны как коллинеации материи или симметрии материи и определяются выражением: где T – ковариантный тензор энергии-импульса. Здесь подчеркивается тесная связь между геометрией и физикой, поскольку векторное поле X рассматривается как сохраняющее определенные физические величины вдоль интегральных кривых X, и это справедливо для любых двух наблюдателей. В связи с этим можно показать, что любое векторное поле Киллинга является коллинеацией материи (в соответствии с уравнениями поля Эйнштейна, с космологической постоянной или без неё). Таким образом, для любого решения уравнений Эйнштейна векторное поле, сохраняющее метрику, обязательно сохраняет соответствующий тензор энергии-импульса. Если тензор энергии-импульса описывает идеальную жидкость, то любое векторное поле Киллинга сохраняет плотность энергии, давление и векторное поле скорости потока жидкости. Если же тензор энергии-импульса описывает электромагнитное поле, то векторное поле Киллинга не обязательно сохраняет электрическое и магнитное поля.
where T is the covariant energy–momentum tensor. The intimate relation between geometry and physics may be highlighted here, as the vector field X is regarded as preserving certain physical quantities along the flow lines of X, this being true for any two observers. In connection with this, it may be shown that every Killing vector field is a matter collineation (by the Einstein field equations, with or without cosmological constant). Thus, given a solution of the EFE, a vector field that preserves the metric necessarily preserves the corresponding energy–momentum tensor. When the energy–momentum tensor represents a perfect fluid, every Killing vector field preserves the energy density, pressure and the fluid flow vector field. When the energy–momentum tensor represents an electromagnetic field, a Killing vector field does not necessarily preserve the electric and magnetic fields.
Приложения
Как упоминалось в начале этой статьи, основное применение этих симметрий находит место в общей теории относительности, где решения уравнений Эйнштейна можно классифицировать, накладывая определенные симметрии на пространство-время.
Классификации пространства-времени
Классификация решений ЭФЭ составляет значительную часть исследований в области общей теории относительности. Различные подходы к классификации пространств-времени, включая использование классификации Сегре тензора энергии-импульса или классификации Петрова тензора Вейля, были широко изучены многими исследователями, наиболее заметно – Стефани и др. (2003). Они также классифицируют пространства-времени, используя векторные поля симметрии (особенно симметрии Киллинга и гомотетические симметрии). Например, векторные поля Киллинга могут быть использованы для классификации пространств-времени, поскольку существует предел количества глобальных, гладких векторных полей Киллинга, которыми может обладать пространство-время (максимальное число равно десяти для четырехмерных пространств-времени). В общем случае, чем выше размерность алгебры векторных полей симметрии на пространстве-времени, тем больше симметрии допускает это пространство-время. Например, решение Шварцшильда имеет алгебру Киллинга размерности четыре (три пространственных вращательных векторных поля и сдвиг во времени), в то время как метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера (за исключением статического подслучая Эйнштейна) имеет алгебру Киллинга размерности шесть (три сдвига и три вращения). Статическая метрика Эйнштейна имеет алгебру Киллинга размерности семь (предыдущие шесть плюс сдвиг во времени). Предположение о том, что пространство-время допускает определенное векторное поле симметрии, может наложить ограничения на это пространство-время.