Введение

Предположение о степени трансцендентности расширений поля над рациональными числами

В математике, в частности в теории трансцендентных чисел, предположение Шануэля — это предположение, выдвинутое Стивеном Шануэлем в 1960-х годах относительно степени трансцендентности определенных расширений поля рациональных чисел.

Последствия

Предположение, если оно будет доказано, обобщит большинство известных результатов в трансцендентной теории чисел. Частный случай, когда числа z1, …, zn все алгебраические, – это теорема Линдемана — Вейерштрасса. Если же, напротив, числа выбраны так, чтобы exp(z1), …, exp(zn) все были алгебраическими, то можно было бы доказать, что линейно независимые логарифмы алгебраических чисел алгебраически независимы, что является усилением теоремы Бейкера. Теорема Гельфонда — Шнайдера следует из этой усиленной версии теоремы Бейкера, как и в настоящее время недоказанная гипотеза о четырех экспонентах. Гипотеза Шануэля, если она будет доказана, также разрешит вопрос о том, являются ли числа, такие как e + π и e^e, алгебраическими или трансцендентными, и докажет, что e и π алгебраически независимы, просто полагая z1 = 1 и z2 = i и используя тождество Эйлера. Тождество Эйлера утверждает, что e^(iπ) + 1 = 0. Если гипотеза Шануэля верна, то это, в некотором точном смысле, связанном с экспоненциальными кольцами, единственное соотношение между e, π и i в комплексных числах. Хотя формально это проблема теории чисел, гипотеза имеет последствия и в теории моделей. Например, Ангус Макинтайр и Алекс Уилки доказали, что теория вещественного поля с экспонентой является разрешимой при условии, что гипотеза Шануэля верна. Фактически, им потребовалась только вещественная версия гипотезы, определенная ниже, чтобы доказать этот результат, который стал бы положительным решением проблемы Тарского об экспоненциальной функции.

Псевдо-экспоненциализация Зильбера

Хотя доказательство гипотезы Шануэля представляется отдалённой перспективой, связь с теорией моделей привела к резкому увеличению числа исследований, посвящённых этой гипотезе. В 2004 году Борис Зилбер систематически построил экспоненциальные поля Kexp, алгебраически замкнутые и характеристики ноль, причем для каждой неисчислимой кардинальности существует одно из таких полей. Он аксиоматизировал эти поля и, используя конструкцию Хрушовского и методы, вдохновлённые работами Шелаха о категоричности в инфинитарных логиках, доказал, что эта теория "псевдовозведения в степень" имеет единственную модель в каждой неисчислимой кардинальности. Гипотеза Шануэля является частью этой аксиоматизации, поэтому естественное предположение о том, что единственная модель кардинальности континуума изоморфна комплексному экспоненциальному полю, влечёт за собой гипотезу Шануэля. Фактически, Зилбер показал, что эта гипотеза верна тогда и только тогда, когда верны как гипотеза Шануэля, так и другое недоказанное условие относительно комплексного экспоненциального поля, которое Зилбер называет экспоненциальной алгебраической замкнутостью. Поскольку эта конструкция также может порождать модели, содержащие контрпримеры к гипотезе Шануэля, этот метод не позволяет доказать гипотезу Шануэля.