Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Обобщение прямой линии на искривлённое пространство-время
Generalization of straight line to a curved space time
В общей теории относительности геодезическая обобщает понятие "прямой линии" на искривлённое пространство-время. Важно отметить, что мировая линия частицы, свободной от всех внешних негравитационных сил, является частным случаем геодезической. Иными словами, свободно движущаяся или падающая частица всегда движется вдоль геодезической. В общей теории относительности гравитацию можно рассматривать не как силу, а как следствие искривлённой геометрии пространства-времени, где источником искривления является тензор энергии-импульса (представляющий, например, материю). Таким образом, например, траектория планеты, вращающейся вокруг звезды, является проекцией геодезической искривлённой четырёхмерной (4D) геометрии пространства-времени вокруг звезды на трёхмерное (3D) пространство.
In general relativity, a geodesic generalizes the notion of a "straight line" to curved spacetime. Importantly, the world line of a particle free from all external, non gravitational forces is a particular type of geodesic. In other words, a freely moving or falling particle always moves along a geodesic. In general relativity, gravity can be regarded as not a force but a consequence of a curved spacetime geometry where the source of curvature is the stress–energy tensor (representing matter, for instance). Thus, for example, the path of a planet orbiting a star is the projection of a geodesic of the curved four dimensional (4 D) spacetime geometry around the star onto three dimensional (3 D) space.
Эквивалентное математическое выражение с использованием координат времени в качестве параметра
До сих пор геодезическое уравнение движения было записано относительно скалярного параметра s. Его можно также записать относительно координатного времени (здесь мы используем тройную черту для обозначения определения). Тогда геодезическое уравнение движения примет вид:
So far the geodesic equation of motion has been written in terms of a scalar parameter s. It can alternatively be written in terms of the time coordinate, (here we have used the triple bar to signify a definition). The geodesic equation of motion then becomes:
Эта формулировка геодезического уравнения движения может быть полезна для компьютерных расчетов и для сравнения общей теории относительности с ньютоновской гравитацией. Эту форму геодезического уравнения движения можно легко получить из формы, использующей собственное время в качестве параметра, с помощью правила цепочки. Обратите внимание, что обе части последнего уравнения обращаются в ноль при установке индекса μ равным нулю. Если скорость частицы достаточно мала, то геодезическое уравнение упрощается до следующего:
This formulation of the geodesic equation of motion can be useful for computer calculations and to compare General Relativity with Newtonian Gravity. It is straightforward to derive this form of the geodesic equation of motion from the form which uses proper time as a parameter using the chain rule. Notice that both sides of this last equation vanish when the mu index is set to zero. If the particle's velocity is small enough, then the geodesic equation reduces to this:
Здесь латинский индекс n принимает значения [1, 2, 3]. Это уравнение просто означает, что все пробные частицы в определенной точке пространства и времени будут иметь одинаковое ускорение, что является известной особенностью ньютоновской гравитации. Например, все, что находится в невесомости на Международной космической станции, будет испытывать примерно одинаковое ускорение свободного падения.
Here the Latin index n takes the values [1,2,3]. This equation simply means that all test particles at a particular place and time will have the same acceleration, which is a well known feature of Newtonian gravity. For example, everything floating around in the International Space Station will undergo roughly the same acceleration due to gravity.