Введение

Математическая группа

В математике, в области абстрактной алгебры, известной как теория Галуа, группа Галуа определенного типа расширения поля является специфической группой, ассоциированной с этим расширением поля. Изучение расширений поля и их связи с порождающими их многочленами посредством групп Галуа называется теорией Галуа, так названной в честь Эвариста Галуа, который впервые их открыл. Более элементарное рассмотрение групп Галуа в терминах групп перестановок представлено в статье о теории Галуа.

Определение

Предположим, что E является расширением поля F (обозначается как E/F и читается "E над F"). Автоморфизм E определяется как автоморфизм, который фиксирует F поточечно. Другими словами, автоморфизм E — это изоморфизм σ: E → E такой, что σ(a) = a для каждого a ∈ F. Множество всех автоморфизмов E образует группу относительно операции композиции функций. Эта группа иногда обозначается как Aut(E/F).

Если E является расширением Галуа, то Aut(E/F) называется группой Галуа расширения E/F и обычно обозначается как Gal(E/F).

Если E не является расширением Галуа, то группа Галуа E иногда определяется как Gal(K/F), где K — замыкание Галуа поля E.

Группа Галуа многочлена

Другое определение группы Галуа исходит из группы Галуа многочлена. Если существует поле K, такое что многочлен f(x) разлагается на произведение линейных многочленов над полем K, то группа Галуа многочлена f(x) определяется как группа Галуа поля K, где K минимально среди всех таких полей.

Фундаментальная теорема теории Галуа

Одна из важных теорем о структуре из теории Галуа вытекает из фундаментальной теоремы теории Галуа. Она утверждает, что для конечного расширения Галуа *K/F* существует биекция между множеством подполей *E* поля *K* и подгруппами группы Галуа *Gal(K/F)*. Тогда *E* определяется как множество инвариантов *K* относительно действия *Gal(K/F)*, то есть:

Более того, если *H* – нормальная подгруппа *Gal(K/F)*, то *K<sup>H</sup>* – нормальное расширение поля *F*. И наоборот, если *K/E* – нормальное расширение поля, то соответствующая подгруппа в *Gal(K/F)* является нормальной группой.

Решетчатая структура

Предположим, что поля являются расширениями Галуа поля с группами Галуа. Поле с группой Галуа имеет инъекцию, которая является изоморфизмом, когда расширение конечного поля выглядит следующим образом: Пусть задан многочлен, и пусть является его полем расщепления. Тогда порядок группы Галуа равен степени расширения поля, то есть

Критерий Эйзенштейна

Полезный инструмент для определения группы Галуа многочлена исходит из критерия Эйзенштейна. Если многочлен разлагается на неприводимые многочлены, то группу Галуа можно определить, используя группы Галуа каждого из этих многочленов, поскольку группа Галуа содержит каждую из групп Галуа этих многочленов.

Конечные абелевы группы

Группа Галуа имеет два элемента: тождественный автоморфизм и автоморфизм комплексного сопряжения.

Квадратные расширения

Расширение поля второй степени имеет группу Галуа из двух элементов, тождественный автоморфизм и автоморфизм, меняющий местами α и β. Этот пример обобщается для простого числа p.

Определенные поля

Другой полезный класс примеров групп Галуа с конечными абелевыми группами происходит из конечных полей. Если q – степень простого числа, и если и обозначают поля Галуа порядка и соответственно, то является циклической группой порядка n и порождается гомоморфизмом Фробениуса.

Примеры 4 степени

Расширение поля является примером расширения поля степени. Оно имеет два автоморфизма, где и. Поскольку эти два генератора определяют группу порядка 4, группу Кляйна, они определяют всю группу Галуа.

Сравнение групп Галуа расширений поля глобальных полей

При заданном глобальном расширении поля (например, ) и классах эквивалентности валораций на (например, -адической валорации) и на таких, что их завершения дают расширение поля Галуа локальных полей, существует индуцированное действие группы Галуа на множество классов эквивалентности валораций, согласованное с завершениями полей. Это означает, что если , то существует индуцированный изоморфизм локальных полей. Поскольку мы исходим из гипотезы, что лежит над (то есть существует расширение поля Галуа), морфизм поля на самом деле является изоморфизмом алгебр. Если взять подгруппу изотропии для класса валорации, то существует сюръекция глобальной группы Галуа на локальную группу Галуа, такая что существует изоморфизм между локальной группой Галуа и подгруппой изотропии. Диаграмматически это выглядит следующим образом, где вертикальные стрелки – изоморфизмы. Это дает метод построения групп Галуа локальных полей с использованием глобальных групп Галуа.

Свойства

Значение расширения, являющегося расширением Галуа, состоит в том, что оно удовлетворяет основной теореме теории Галуа: замкнутые (относительно топологии Крулла) подгруппы группы Галуа соответствуют промежуточным полям данного расширения поля. Если является расширением Галуа, то группе Галуа можно задать топологию, называемую топологией Крулла, которая превращает её в проконечную группу.