Введение
В контексте характерного многочлена дифференциального уравнения или разностного уравнения, многочлен считается устойчивым, если либо: все его корни лежат в открытой левой полуплоскости, либо все его корни лежат в открытом единичном диске. Первое условие обеспечивает устойчивость для линейных систем непрерывного времени, а второй случай относится к устойчивости линейных систем дискретного времени. Многочлен, обладающий первым свойством, иногда называют многочленом Гурвица, а обладающий вторым свойством – многочленом Шура. Устойчивые многочлены возникают в теории управления и в математической теории дифференциальных и разностных уравнений. Линейная, инвариантная ко времени система (см. теорию систем LTI) считается BIBO-устойчивой, если любой ограниченный вход порождает ограниченный выход. Линейная система BIBO-устойчива, если ее характеристический многочлен устойчив. Знаменатель должен быть устойчивым по Гурвицу, если система является непрерывной по времени, и устойчивым по Шуру, если она дискретная по времени. На практике устойчивость определяется применением одного из нескольких критериев устойчивости.
all its roots lie in the open left half plane, or
all its roots lie in the open unit disk. The first condition provides stability for continuous time linear systems, and the second case relates to stability
of discrete time linear systems. A polynomial with the first property is called at times a Hurwitz polynomial and with the second property a Schur polynomial. Stable polynomials arise in control theory and in mathematical theory
of differential and difference equations. A linear, time invariant system (see LTI system theory) is said to be BIBO stable if every bounded input produces bounded output. A linear system is BIBO stable if its characteristic polynomial is stable. The denominator is required to be Hurwitz stable if the system is in continuous time and Schur stable if it is in discrete time. In practice, stability is determined by applying any one of several stability criteria.
Стабильные матрицы
Подобно тому, как стабильные полиномы необходимы для оценки устойчивости систем, описываемых полиномами, матрицы устойчивости играют важную роль в оценке устойчивости систем, представленных матрицами.
Матрица Хурвица
Квадратная матрица A называется матрицей Хурвица, если вещественная часть каждого собственного значения A строго отрицательна.
Матрица Шура
Матрицы Шура являются аналогом матриц Хурвица для систем дискретного времени. Матрица A является матрицей Шура (стабильной), если ее собственные значения расположены в открытом единичном диске на комплексной плоскости.