Введение
Операция в абстрактной алгебре, объединяющая объекты в "более сложные" объекты. Прямая сумма — это операция между структурами в абстрактной алгебре, ветви математики. Она определяется по-разному, но аналогично, для различных видов структур. Например, прямая сумма двух абелевых групп и является другой абелевой группой , состоящей из упорядоченных пар , где и . Чтобы сложить упорядоченные пары, мы определяем сумму как ; другими словами, сложение определяется покоординатно. Например, прямая сумма , где — вещественное координатное пространство, является декартовой плоскостью. Аналогичный процесс можно использовать для формирования прямой суммы двух векторных пространств или двух модулей. Мы также можем формировать прямые суммы с любым конечным числом слагаемых, например , при условии, что и — структуры одного и того же типа (например, все абелевы группы или все векторные пространства). Это основано на том, что прямая сумма ассоциативна с точностью до изоморфизма. То есть, для любых алгебраических структур , , и одного и того же типа. Прямая сумма также коммутативна с точностью до изоморфизма, то есть для любых алгебраических структур и одного и того же типа. Прямая сумма конечного числа абелевых групп, векторных пространств или модулей канонически изоморфна соответствующему прямому произведению. Однако это неверно для некоторых алгебраических объектов, таких как неабелевы группы. В случае, когда объединяется бесконечно много объектов, прямая сумма и прямое произведение неизоморфны, даже для абелевых групп, векторных пространств или модулей. В качестве примера рассмотрим прямую сумму и прямое произведение (счетно) бесконечного числа копий целых чисел. Элемент в прямом произведении — это бесконечная последовательность, такая как (1, 2, 3, …), но в прямой сумме требуется, чтобы все, кроме конечного числа координат, были равны нулю, поэтому последовательность (1, 2, 3, …) была бы элементом прямого произведения, но не прямой суммы, в то время как (1, 2, 0, 0, 0, …) была бы элементом обоих. Часто, если используется знак "+", все, кроме конечного числа координат, должны быть равны нулю, а если используется какая-либо форма умножения, все, кроме конечного числа координат, должны быть равны 1. Более технически, если слагаемые — это , то прямая сумма определяется как множество кортежей с условием, что для всех, кроме конечного числа *i*. Прямая сумма содержится в прямом произведении , но строго меньше, когда множество индексов бесконечно, поскольку элемент прямого произведения может иметь бесконечно много ненулевых координат.
The direct sum is an operation between structures in abstract algebra, a branch of mathematics. It is defined differently, but analogously, for different kinds of structures. As an example, the direct sum of two abelian groups and is another abelian group consisting of the ordered pairs where and To add ordered pairs, we define the sum to be ; in other words addition is defined coordinate wise. For example, the direct sum , where is real coordinate space, is the Cartesian plane, A similar process can be used to form the direct sum of two vector spaces or two modules. We can also form direct sums with any finite number of summands, for example , provided and are the same kinds of algebraic structures (e. g., all abelian groups, or all vector spaces). This relies on the fact that the direct sum is associative up to isomorphism. That is, for any algebraic structures , , and of the same kind. The direct sum is also commutative up to isomorphism, i. e. for any algebraic structures and of the same kind. The direct sum of finitely many abelian groups, vector spaces, or modules is canonically isomorphic to the corresponding direct product. This is false, however, for some algebraic objects, like nonabelian groups. In the case where infinitely many objects are combined, the direct sum and direct product are not isomorphic, even for abelian groups, vector spaces, or modules. As an example, consider the direct sum and direct product of (countably) infinitely many copies of the integers. An element in the direct product is an infinite sequence, such as (1,2,3, ) but in the direct sum, there is a requirement that all but finitely many coordinates be zero, so the sequence (1,2,3, ) would be an element of the direct product but not of the direct sum, while (1,2,0,0,0, ) would be an element of both. Often, if a + sign is used, all but finitely many coordinates must be zero, while if some form of multiplication is used, all but finitely many coordinates must be 1. In more technical language, if the summands are , the direct sum is defined to be the set of tuples with such that for all but finitely many i. The direct sum is contained in the direct product , but is strictly smaller when the index set is infinite, because an element of the direct product can have infinitely many nonzero coordinates.
Примеры
Плоскость xy, двумерное векторное пространство, можно рассматривать как прямую сумму двух одномерных векторных пространств, а именно осей x и y. В этой прямой сумме оси x и y пересекаются только в начале координат (нулевом векторе). Сложение определяется покомпонентно, то есть , что эквивалентно векторному сложению. Для двух структур и их прямая сумма записывается как . Для индексированного семейства структур , индексированных , прямая сумма может быть записана как . Каждый Ai называется прямым слагаемым A. Если индексное множество конечно, то прямая сумма совпадает с прямым произведением. В случае групп, если групповая операция записывается как , используется термин "прямая сумма", а если групповая операция записывается как , используется термин "прямое произведение". Когда индексное множество бесконечно, прямая сумма не совпадает с прямым произведением, поскольку прямая сумма требует, чтобы все, кроме конечного числа координат, были равны нулю.
Внутренние и внешние прямые суммы
Различают внутренние и внешние прямые суммы, хотя они изоморфны. Если сначала определены слагаемые, а затем прямая сумма определяется через эти слагаемые, то мы имеем внешнюю прямую сумму. Например, если мы определим вещественные числа, а затем определим прямую сумму, то она называется внешней. Если же, напротив, мы сначала определяем некоторую алгебраическую структуру, а затем записываем ее как прямую сумму двух подструктур и , то прямая сумма называется внутренней. В этом случае каждый элемент из может быть однозначно представлен как алгебраическая комбинация элемента из и элемента из . В качестве примера внутренней прямой суммы рассмотрим (целые числа по модулю шесть), элементы которых являются . Это можно представить как внутреннюю прямую сумму .
Прямая сумма модулей
Прямая сумма модулей — это конструкция, объединяющая несколько модулей в новый модуль. Наиболее известные примеры этой конструкции возникают при рассмотрении векторных пространств, которые являются модулями над полем. Эту конструкцию также можно расширить на пространства Банаха и пространства Гильберта.
Прямые суммы по сравнению с сопродуктами в категории групп
Однако прямая сумма (определяемая аналогично прямой сумме абелевых групп) не является копроизведением групп и в категории групп. Поэтому в этой категории категориальную прямую сумму часто называют просто копроизведением, чтобы избежать возможной путаницы.
Прямая сумма колец
Некоторые авторы могут использовать термин "прямая сумма" двух колец, подразумевая при этом "прямое произведение", но этого следует избегать, поскольку не принимает естественные гомоморфизмы колец из и : в частности, отображение, посылающее в , не является гомоморфизмом колец, так как оно не переводит 1 в 1 (при условии, что 1 существует в ). Следовательно, не является копроизведением в категории колец и не должно записываться как прямая сумма. (Копроизведением в категории коммутативных колец является тензорное произведение колец. В категории колец копроизведение задается конструкцией, аналогичной свободному произведению групп.) Использование терминологии и обозначений "прямая сумма" особенно проблематично при работе с бесконечными семействами колец: если – бесконечное множество нетривиальных колец, то прямая сумма лежащих в основе аддитивных групп может быть снабжена поточечным умножением, но в результате получается rng, то есть кольцо без единицы.
Прямая сумма матриц
Для любых произвольных матриц A и B, прямая сумма A ⊕ B определяется как блочно-диагональная матрица, составленная из A и B, если обе матрицы квадратные (и аналогичная блочная матрица, если это не так).
Гомоморфизмы
Прямая сумма снабжена проекционным гомоморфизмом для каждого j из I и копроекцией для каждого j из I. Для любой другой алгебраической структуры (с той же дополнительной структурой) и гомоморфизмов gj для каждого j из I, существует единственный гомоморфизм, называемый суммой гомоморфизмов gj, такой что gj = πj для всех j. Таким образом, прямая сумма является копроизведением в соответствующей категории.