Фибрированные категории: Обзор и основные понятия.

Введение

Концепция в теории категорий. Фибровые категории (или фибрированные категории) — это абстрактные объекты в математике, используемые для создания общей основы теории спуска. Они формализуют различные ситуации в геометрии и алгебре, в которых можно определить обратные образы (или обратные отображения) объектов, таких как векторные расслоения. Например, для каждого топологического пространства существует категория векторных расслоений над этим пространством, и каждому непрерывному отображению из топологического пространства X в другое топологическое пространство Y сопоставлен функтор обратного отображения, переводящий расслоения над Y в расслоения над X. Фибровые категории формализуют систему, состоящую из этих категорий и функторов обратного отображения. Подобные структуры возникают в различных областях математики, в частности в алгебраической геометрии, где фибровые категории изначально появились. Фибрированные категории используются для определения стэков, которые представляют собой фибрированные категории (над сайтом) с "спусканием". Фибрации также играют важную роль в категориальной семантике теории типов, особенно в семантике зависимых теорий типов. Фибровые категории были введены [имя], а затем более подробно разработаны [имя].

Формальные определения

Существует два по существу эквивалентных технических определения расслоенных категорий, оба из которых будут описаны ниже. Все обсуждения в этом разделе игнорируют вопросы теории множеств, связанные с "большими" категориями. Обсуждение можно сделать полностью строгим, например, ограничившись рассмотрением малых категорий или используя вселенные.

Разделы и категории расколовшихся волокон

(Нормализованное) расщепление, такое что композиция двух транспортных морфизмов всегда является транспортным морфизмом, называется разделением, а фибрированная категория с разделением называется расщепленной (фибрированной) категорией. С точки зрения функторов обратного образа, условие быть разделением означает, что композиция функторов обратного образа, соответствующих композируемым морфизмам в , равна функтору обратного образа, соответствующему . Иными словами, совместимые изоморфизмы из предыдущего раздела – все тождественные для расщепленной категории. Таким образом, расщепленные категории точно соответствуют настоящим функторам из в категорию категорий. В отличие от расщеплений, не все фибрированные категории допускают разделения. Пример см. ниже.

Кокартезианские морфизмы и кофибридные категории

Можно изменить направление стрелок в приведенных выше определениях, чтобы получить соответствующие понятия кокартезианских морфизмов, кофибрированных категорий и расщеплённых кофибрированных категорий (или корасщеплённых категорий). Более точно, если F — функтор, то морфизм f в C называется кокартезианским, если он картезианский для противоположного функтора F<sup>op</sup>. Тогда F также называется прямым образом, а f — прямым образом A. Кофибрированная категория — это категория, в которой существует прямой образ для каждого морфизма в C, и композиция прямых образов является прямым образом. Корасщепление и коразделение определяются аналогично, соответствуя прямым функторам образа вместо обратных функторов образа.

Две категории волоконных категорий и разделенных категорий

Категории, расслоенные над фиксированной категорией, образуют 2-категорию, где категория морфизмов между двумя расслоенными категориями и определяется как категория картезианских функторов из в . Аналогично, расщепленные категории над образуют 2-категорию (от французского catégorie scindée), где категория морфизмов между двумя расщепленными категориями и является полной подкатегорией функторов из в , состоящей из тех функторов, которые преобразуют каждый транспортный морфизм из в транспортный морфизм из . Каждый такой морфизм расщепленных категорий также является морфизмом расслоенных категорий, то есть . Существует естественный забывающий 2-функтор, который просто игнорирует расщепление.

Существование эквивалентных разделенных категорий

Хотя не все категории в расслоении допускают расщепление, каждая категория в расслоении фактически эквивалентна расщепленной категории. Действительно, существует два канонических способа построить эквивалентную расщепленную категорию для заданной категории в расслоении. Более точно, забывающий 2-функтор допускает правый 2-адъюнкт и левый 2-адъюнкт (теоремы 2.4.2 и 2.4.4 Гиро 1971), и и являются двумя связанными расщепленными категориями. Функторы присоединения и являются как картезианскими, так и эквивалентностями (там же). Однако, хотя их композиция является эквивалентностью (категорий и даже категорий в расслоении), она не является, вообще говоря, морфизмом расщепленных категорий. Таким образом, эти две конструкции отличаются, вообще говоря. Две предыдущие конструкции расщепленных категорий критически важны при построении стека, ассоциированного с категорией в расслоении (и, в частности, стека, ассоциированного с престеком).

Категории волокон

Функтор, отображающий категорию в ее множество объектов, является фибрацией. Для множества волокно состоит из категорий с картезианскими стрелками, которые являются полно-верными функторами. Категории стрелок: Для любой категории категория стрелок в имеет в качестве объектов морфизмы в , а в качестве морфизмов – коммутативные квадраты в (точнее, морфизм из в состоит из морфизмов и таких, что ). Функтор, который сопоставляет стрелке ее образ, превращает в -категорию; для объекта волокна является категорией объектов в , то есть стрелок в с целевыми картезианскими морфизмами в точно соответствуют картезианским квадратам в , и, следовательно, является фибрированной над тогда и только тогда, когда существуют произведения по волокнам в пучках волокна: Произведения по волокнам существуют в категории топологических пространств и, следовательно, по предыдущему примеру является фибрированной над . Если является полной подкатегорией , состоящей из стрелок, являющихся проекционными отображениями расслоений, то является категорией расслоений над , а является фибрированной над . Выбор расщепления эквивалентен выбору обычных обратных отображений (или функторов обратного притягивания) для расслоений. Векторные расслоения: По аналогии с предыдущими примерами, проекции вещественных (комплексных) векторных расслоений на их базовые пространства образуют категорию над (морфизмы векторных расслоений, сохраняющие структуру векторного пространства волокон). Эта категория также является фибрированной, а функторы обратного отображения – обычными функторами обратного притягивания для векторных расслоений. Эти фибрированные категории являются (неполными) подкатегориями пучков на топологических пространствах: функторы обратного отображения пучков делают категории пучков на топологических пространствах в (расщепленную) фибрированную категорию над . Как и в случае векторных расслоений, пучки групп и колец также образуют фибрированные категории пучков на топосах: Если является топосом и является объектом в , то категория объектов также является топосом, интерпретируемым как категория пучков на . Если является морфизмом в , то функтор обратного отображения можно описать следующим образом: для пучка на и объекта в одном имеет . Эти обратные отображения делают категории в расщепленную фибрированную категорию над . Это применимо, в частности, к "большому" топосу топологических пространств. Квазикогерентные пучки на схемах: Квазикогерентные пучки образуют фибрированную категорию над категорией схем. Это один из мотивирующих примеров для определения фибрированных категорий. Фибрированная категория, не допускающая расщепления: Группу можно рассматривать как категорию с одним объектом, а элементы группы – как морфизмы, причем композиция морфизмов задается групповым законом. Групповой гомоморфизм можно рассматривать как функтор, который превращает в -категорию. Можно проверить, что в этой постановке все морфизмы в являются картезианными; следовательно, является фибрированной над тогда и только тогда, когда является сюръективным. Расщепление в этой постановке – это (теоретико-множественное) сечение , строго коммутирующее с композицией, или, другими словами, сечение, которое также является гомоморфизмом. Но, как известно из теории групп, это не всегда возможно (можно взять проекцию в нерасщепляемом групповом расширении). Кофибрированная категория пучков: Функтор прямого образа пучков делает категории пучков на топологических пространствах кофибрированной категорией. Транзитивность прямого образа показывает, что это даже естественным образом корасщепляемо.

The functor , sending a category to its set of objects, is a fibration. For a set , the fiber consists of categories with The cartesian arrows are the fully faithful functors. Categories of arrows: For any category the category of arrows in has as objects the morphisms in , and as morphisms the commutative squares in (more precisely, a morphism from to consists of morphisms and such that ). The functor which takes an arrow to its target makes into an category; for an object of the fibre is the category of objects in , i. e., arrows in with target Cartesian morphisms in are precisely the cartesian squares in , and thus is fibred over precisely when fibre products exist in Fibre bundles: Fibre products exist in the category of topological spaces and thus by the previous example is fibred over If is the full subcategory of consisting of arrows that are projection maps of fibre bundles, then is the category of fibre bundles on and is fibred over A choice of a cleavage amounts to a choice of ordinary inverse image (or pull back) functors for fibre bundles. Vector bundles: In a manner similar to the previous examples the projections of real (complex) vector bundles to their base spaces form a category over (morphisms of vector bundles respecting the vector space structure of the fibres). This category is also fibred, and the inverse image functors are the ordinary pull back functors for vector bundles. These fibred categories are (non full) subcategories of Sheaves on topological spaces: The inverse image functors of sheaves make the categories of sheaves on topological spaces into a (cleaved) fibred category over This fibred category can be described as the full sub category of consisting of étalé spaces of sheaves. As with vector bundles, the sheaves of groups and rings also form fibred categories of Sheaves on topoi: If is a topos and is an object in , the category of objects is also a topos, interpreted as the category of sheaves on If is a morphism in , the inverse image functor can be described as follows: for a sheaf on and an object in one has equals These inverse image make the categories into a split fibred category on This can be applied in particular to the "large" topos of topological spaces. Quasi coherent sheaves on schemes: Quasi coherent sheaves form a fibred category over the category of schemes. This is one of the motivating examples for the definition of fibred categories. Fibred category admitting no splitting: A group can be considered as a category with one object and the elements of as the morphisms, composition of morphisms being given by the group law. A group homomorphism can then be considered as a functor, which makes into a category. It can be checked that in this set up all morphisms in are cartesian; hence is fibred over precisely when is surjective. A splitting in this setup is a (set theoretic) section of which commutes strictly with composition, or in other words a section of which is also a homomorphism. But as is well known in group theory, this is not always possible (one can take the projection in a non split group extension). Co fibred category of sheaves: The direct image functor of sheaves makes the categories of sheaves on topological spaces into a co fibred category. The transitivity of the direct image shows that this is even naturally co split.