Введение
В математике, клеточная гомология в алгебраической топологии — это теория гомологии для категории CW-комплексов. Она совпадает с сингулярной гомологией и может служить эффективным способом вычисления модулей гомологии.
Примеры
Следующие примеры иллюстрируют, почему вычисления, выполненные с помощью клеточной гомологии, часто более эффективны, чем вычисления, основанные только на сингулярной гомологии.
Площадь рода g
Клеточная гомология также может использоваться для вычисления гомологии поверхности рода g. Основной многоугольник является g-угольником, который задает CW-структуру с одной 2-клеткой, g 1-клеток и одной 0-клеткой. 2-клетка прикрепляется вдоль границы g-угольника, который содержит каждую 1-клетку дважды, один раз в прямом и один раз в обратном направлении. Это означает, что отображение прикрепления равно нулю, поскольку прямые и обратные направления каждой 1-клетки взаимно уничтожаются. Аналогично, отображение прикрепления для каждой 1-клетки также равно нулю, поскольку это постоянное отображение из 1-клетки в 0-клетку. Следовательно, полученный цепной комплекс имеет вид:
где все граничные отображения равны нулю. Таким образом, клеточная гомология поверхности рода g задается выражением:
Аналогично, поверхность рода g с прикрепленной перекрестной шапкой можно построить как CW-комплекс с 1 0-клеткой, g 1-клеток и 1 2-клеткой. Ее гомологические группы:
Торос
n-тор можно построить как CW-комплекс с 1 нулевой ячейкой, n одноячейками и 1 n-ячейкой. Цепной комплекс равен , и все граничные отображения равны нулю. Это можно понять, явно построив случаи для , а затем увидеть закономерность. Таким образом, .
Комплексное проективное пространство
Если у объекта нет смежных ячеек других размерностей (то есть, если у него есть n ячеек, то у него нет ячеек размерности (n-1) и (n+1)), то он является свободной абелевой группой, порожденной его n ячейками, для каждого .
Комплексное проективное пространство получается склеиванием ячейки 0, ячейки 2, …, и ячейки размерности 2n, таким образом для , и нуля в противном случае.
Обобщение
Спектральная последовательность Атия — Хирцебруха — это аналогичный метод вычисления (ко)гомологий CW-комплекса для произвольной экстраординарной (ко)гомологической теории.